6. Умови рівноваги системи сил. Окремі випадки рівноваги
На практиці розв’язання задач про рівновагу невільного твердого тіла дозволяє визначити невідомі зовнішні сили та реакції в’язей.
Згідно
з аксіомою статики про звільнення
твердого тіла від в’язей тіло перебуває
у стані спокою, тобто рівновазі, коли
система прикладених до нього сил (в тому
числі реакцій в’язів) еквівалентна
нулю
,
тобто зрівноважена.
6.1. Рівновага довільної системи сил у просторі
Відповідно до теореми Пуансо (п. 5.4.3) умови перебування твердого тіла в рівновазі формулюються наступним чином: для рівноваги довільної системи сил у просторі необхідно і достатньо, щоб одночасно головний вектор і головний момент цієї системи дорівнювали нулю:
; 
, (6.1)
де О - будь-яка точка приведення у просторі, тому що при величина головного моменту від вибору центра О не залежить. Це геометричні (векторні) умови рівноваги.
Умови
(6.1) є необхідними, бо якщо одна з них не
буде виконуватись, то система діючих
на тіло сил зведеться або до пари сил з
моментом
(п. 5.4.1), або до рівнодійної
(п. 5.4.2), тобто не буде зрівноваженою.
Одночасно
умови (6.1) є і достатніми, тому що,
наприклад, при
,
система відповідно до п. 5.4.1. зводиться
до пари сил з моментом
,
рівним головному моменту
.
Але завдяки умовам (6.1) одночасно
виконується і рівність
=
0, тому рівновага тіла забезпечується
безумовно.
Однак,
на практиці широко використовується
інша форма умов рівноваги (аналітична
чи алгебраїчна форма),
суть якої полягає в наступному: якщо
при рівновазі системи діючих на тіло
сил головний вектор і головний момент
системи дорівнюють нулю, то і їх проекції
на координатні осі також дорівнюватимуть
нулю:
(6.2)
де
)
- проекції радіуса-вектора точки
прикладання k-ої
сили на осі системи координат.
При
цьому перші три рівняння складають
умови відсутності поступального руху
тіла в напрямку осей
,
а останні рівняння - відсутності його
обертального руху навколо перелічених
осей.
У загальному випадку при розв’язанні задачі на рівновагу конкретного твердого тіла з шести рівнянь (6.2) можна визначити шість невідомих величин реакцій в’язів, наприклад, у задачах прикладної механіки при визначенні геометричних і механічних характеристик опорних стержнів, підшипників, підп’ятників та ін.
6.2. Окремі випадки рівноваги системи сил
6.2.1. Рівновага довільної системи паралельних сил у просторі
У випадку, коли всі сили паралельні між собою (система паралельних сил), осі системи координат доцільно вибрати так, щоб одна з осей (наприклад вісь ) була паралельна силам (рис. 6.1).
Рис. 6.1
Тоді перші дві і остання умови (6.2) будуть виконуватись як тотожності, що дає наступні (три) умови рівноваги:
; 
; 
. (6.3)
Отже, відповідно до (6.3), для рівноваги просторової системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб сума проекцій сил на вісь, паралельну силам, і суми моментів цих сил відносно двох інших координатних осей дорівнювали нулю.