8. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов.

Определение 3.14. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

. (15)

Свойства скалярного произведения.

1. Коммутативный закон: . Действительно, .

2. Ассоциативный закон: . Действительно, например, при : . Остальные случаи рассматриваются аналогично.

3. Дистрибутивный закон: . Действительно, используя формулу (15) и свойства проекций, получаем: .

4. Критерий перпендикулярности (ортогональности) Для того, чтобы два вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю. .

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

Определение 3.10. Углом между двумя векторами и называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из них до совпадения с другим, если эти векторы отложены из одной точки.

Из определения ясно, что угол между векторами находится в пределах: .

Условие ортогональности двух векторов :

или .

Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно,

чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

9. Векторное произведение двух векторов, его свойства и геометрический смысл.

Определение 4.1. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , такой что:

1. вектор перпендикулярен перемножаемым векторам: , ;

2) направление вектора определяется по правилу: если смотреть с конца стрелки вектора на плоскость, образованную векторами и , то вращение (внутри плоскости) от к по кратчайшему пути должно происходить против часовой стрелки;

3. модуль вектора определяется формулой:

, (1)

где - угол между векторами и .

Векторное произведение обозначается .

2. Свойства векторного произведения.

1. (антикоммутативность).

Доказательство: Из определения следует, что векторы и имеют одинаковую длину и противоположные направления:

.

2. (ассоциативность).

Докажем это свойство для : вектор имеет то же направление, что и вектор . Вектор при имеет то же направление. Длины этих векторов также совпадают: , . Аналогично проводится доказательство для случая .

3. (дистрибутивность).

Без доказательства.

.6. Геометрический смысл векторного произведения: Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

10. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности векторов.

Определение 4.3. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными. Очевидно, что два вектора всегда компланарны.

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Определение 4.2. Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное , т.е. скалярному произведению векторного произведения первых двух на третий вектор.