- •25.Множества чисел
- •26.Функция
- •27.Числовые последовательности
- •28.Предел функции непрерывного аргумента
- •29. Свойства бесконечно малых функций
- •31.Теорема о двух милиционерах
- •33. Свойства пределов функции
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •34.Непрерывность функции
- •Односторонний предел по Гейне
- •Односторонний предел по Коши
- •35.Свойства функций непрерывных на промежутке
- •36. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
- •37.Производная функции в точке
- •Производная показательной функции
- •Производная логарифмической функции
- •39. Производная сложной функции
- •40. Производная обратной функции
- •41.Производная функций заданных неявно
- •42.Дифференциал функции
- •Свойства дифференциала.
- •43. Производные высших порядков
- •44.Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа (обобщение теоремы Ролля)
- •45.Теорема Коши
- •Доказательство
- •46.Исследование функции
- •Необходимое условие точки перегиба
- •Достаточное условие точки перегиба
- •54.Исследование схема Общая схема исследования функции
Производная логарифмической функции
Производная функции y = ln x существует и выражается формулой
(15)
В случае сложной логарифмической функции y = ln u, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (15) примет вид
(16)
Пользуясь формулой (16), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть
На основании свойств логарифмов имеем
Так как
- постоянный множитель, то
или
38.
Производные элементарных функций:
Функция |
Производная |
f(x) = C, C ∈ R |
0 (да-да, ноль!) |
f(x) = xn |
n · xn − 1 |
f(x) = sin x |
cos x |
f(x) = cos x |
− sin x |
f(x) = tg x |
1/cos2 x |
f(x) = ctg x |
− 1/sin2 x |
f(x) = ln x |
1/x |
f(x) = loga x |
1/(x · ln a) |
f(x) = ex |
ex |
39. Производная сложной функции
Пусть функция f: [a, b] → [c, d], а функция g:[a1, b1] → [c1, d1], причём [a1, b1] [c, d]. Если функция f дифференцируема в точке х0 [a, b], а функция g дифференцируема в точке y0 = f (x0) [a1,b1], то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в точке х0 производную, равную
g ' ( f ( x0 ) )·f ' ( x0 ).
Показательно-степенная функция
Показательно-степенной функцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).
Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.
40. Производная обратной функции
Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f--1(x) имеет производную [f--1(x)]', причем
или
Производные обратных тригонометрических функций
41.Производная функций заданных неявно
Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0 , F(x,y) — дифференцируемая функция и F 'y( x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'x(x, y) / F'y(x, y).
Производная функций заданных параметрически
формула производной параметрически заданной функции
42.Дифференциал функции
Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f’(x)dx.
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u ± v) = (u ± v)’dx = u’dx ± v’dx = du ± dv
2) d(uv) = (uv)’dx = (u’v + v’u)dx = vdu + udv
3) d(Cu) = Cdu
4)
43. Производные высших порядков
Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной . Эта функция называется производной функции , или первой производной от . (Иногда саму исходную функцию называют нулевой производной и обозначают тогда .) Функция , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала , которую мы обозначим и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная существует во всех точках , то она может также иметь производную , называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, -й производной функции называется производная от предыдущей, -й производной :