27.Числовые последовательности

функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y₁, y₂,…, y_n,…. Значения y₁, y₂, y₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

28.Предел функции непрерывного аргумента

Число А называется пределом функции y=f(x) при x->x0,если для всех значений x, достаточно мало отличающихся от числа x0, соответствующие значения функции f(x) как угодно мало отличается от числа A

Бесконечно малая функция

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Бесконечно большая функция

если , то функция f называется бесконечно большой при x → x₀.

Ограниченная функция

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), лежит в полосе c ≤ y ≤ C.

29. Свойства бесконечно малых функций

1.
2.
3.
4.

Произведение

Произведение бесконечно малой функции     при   и функции   , ограниченной в некоторой   -окрестности точки  a, есть функция бесконечно малая. Доказательство. Функция     является ограниченной в некоторой окрестности точки  a  и, следовательно, существует такое число  B > 0, что

(4)

для всех  x, удовлетворяющих условию

(5)

      Поскольку функция     является бесконечно малой при   , то для любого произвольно малого числа  ε > 0 существует такое число   , что неравенство

(6)

выполняется для всех  x, удовлетворяющих условию

(7)

Выберем из чисел     и     наименьшее и обозначим его символом  δ. Тогда условие

(8)

является более сильным, чем условия (5) и (7) и поэтому влечет неравенства (4) и (6).       Таким образом, для любого произвольно малого числа  ε > 0  выполняется неравенство

для всех  x  из  δ-окрестности точки  a.

Сумма

Сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Доказательство. Пусть  ε > 0  – произвольно малое число;     и     – бесконечно малые функции при   . Тогда существуют такие положительные числа     и   , что условия

(9)

и

(10)

влекут за собой соответствующие неравенства

и

      Если   , то условие     перекрывает оба условия (9) и (10) и, следовательно,

Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.