24,25,26,27) Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклонена
,
,
,
,
Формула
Тейлора является эффективным средством
для вычисления пределов функций, с
которыми часто приходится иметь дело
при исследовании функций.
Пример 1. Вычислить
предел 
.
Решение.
Используя разложение функции sin x,
имеем
Пример
2. Вычислить
предел 
.
Решение.
Используя разложения функций, входящих
в выражение предела, имеем
Разложить в ряд Маклорена функцию()xfxe- ответ в тетради!
Разложить в ряд Маклорена функцию. ()sinfxx=???
Разложить в ряд Маклорена функцию. ()cosfxx=???
Разложить в ряд Маклорена функцию. ()ln(1)fxx=+???
28) Признак монотонности функции
Промежутки монотонности функции совпадают с промежутками постоянного знака ее производной.
Доказательство. Будем
понимать заданную функцию у
= f(x) как
закон движения материальной точки
Р
по оси у
в зависимости от времени х.
Пусть на некотором промежутке функция f
возрастает. На языке механики это
означает, что материальная точка Р
движется по оси у
в положительном направлении.
Так как знак скорости совпадает с
направлением движения, то скорость
точки, т. е. производная функции
положительна.
Обратно: если производная,
т. е. скорость точки, положительна, то
точка движется по оси у в
положительном направлении, следовательно,
функция возрастает.
Аналогично
рассматривается случай убывания функции.
Замечание. Если
точка движется в одном направлении, то
ее скорость сохраняет постоянный знак,
однако в отдельные моменты времени
точка может остановиться (ее скорость
обратится в нуль), а затем продолжать
двигаться в том же направлении. Функция,
описывающая такое движение точки, будет
монотонной. Значит,
если f(x) возрастает,то f'(x)
> 0.
Верно и обратное. Однако
если f'(x) обращается
в нуль не в отдельных точках, а на целом
промежутке, то на этом промежутке функция
будет постоянной. Если включить промежутки
постоянства функции в промежутки ее
монотонности (как иногда говорят, не
требовать строгой монотонности функции),
то можно коротко результат исследования
записать так: 
.
29. Необходимое условие существования локального экстремума для функции
Пусть
задана функция z
=z (x,y), (x,y)
D.
Точка M0(x0;y0
D -
точка локального экстремума.
Если в этой точке существуют z'x и z'y, то
Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.
Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):
что и требовалось доказать.
Определени
Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).
30) Достаточные условия существования локальных экстремумов
Пусть функция
непрерывна
в 
и
существуют конечные или бесконечные
односторонние производные 
.
Тогда при условии
x0 является точкой строгого локального максимума. А если
то x0 является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x0
Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x0. Тогда при условии
и 
x0 является точкой локального максимума. А если
и 
то x0 является
точкой локального минимума
31)