5.Обратные тригонометрические (аркфункции)

◦Функция арксинус y=arcsin(x)

Свойства функции y=arcsin(x).

◦Область определения арксинуса:

◦Область значений функции арксинус: .

◦Функция нечетная, так как .

◦Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .

◦Функция вогнутая при , выпуклая при .

◦Точка перегиба (0; 0) , она же ноль функции.

◦Асимптот нет.

◦Функция арккосинус y=arccos(x)

Свойства функции y=arccos(x).

◦Область определения арккосинуса:

◦Область значений арккосинуса: .

◦Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

◦Функция убывает на всей области определения, то есть, при

◦Функция вогнутая при , выпуклая при

◦Точка перегиба .

◦Асимптот нет.

◦Функция арктангенс y=arctg(x)

Свойства функции y=arctg(x).

◦Область определения: .

◦Область значений: .

◦Функция арктангенс - нечетная, так как .

◦Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .

◦Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при .

◦Точка перегиба (0; 0) , она же ноль функции.

◦Горизонтальными асимптотами являются прямые при и при . На чертеже они показаны зеленым цветом.

◦Функция арккотангенс y=arcctg(x)

Свойства функции y=arcctg(x).

◦Область определения: .

◦Область значений арккотангенса: .

◦Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

◦Функция убывает на всей области определения, то есть, при .

◦Функция вогнутая при , выпуклая при .

◦Точка перегиба .

◦Горизонтальными асимптотами являются прямые при (на чертеже показана зеленым цветом) и y=0 при .

Преобразование графиков элементарных функций.

Три способа геометрических преобразований графика функции:

•Масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.

На необходимость масштабирования указывают коэффициенты k1 и k2 отличные от единицы, если , то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если , то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.

•Симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.

На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами k1 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и k2 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy ). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.

•Параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy .

Это преобразование производится В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ при наличии коэффициентов a и b , отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на а единиц, при отрицательных а – вправо на а единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на b единиц, при отрицательном b – вниз на b единиц.

Пример (преобразование графика степенной функции).

С помощью преобразования графика функции построить

Решение.

Функция представляется в следующем виде:

Имеем k1=2, причем перед этим коэффициентом знак «минус»,

а=-1/2 , b=3 . Следовательно, получили цепочку геометрических преобразований графика: растяжение вдоль оси ординат вдвое, симметричное отображение относительно оси абсцисс, сдвиг вправо на 1/2 и сдвиг вверх на 3 единицы.

исходная степенная функция

растягиваем вдоль оси oy вдвое

отображаем симметрично относительно оси ox

сдвигаем вправо на 1/2

сдвигаем вверх на 3 единицы

Пример (преобразование графика показательной функции).

Построить график показательной функции

Решение.

По свойствам степени преобразуем функцию:

Таким образом, имеем цепочку преобразований графика показательной функции :

исходная показательная функция

сжимаем вдоль оси oy вдвое

растягиваем вдвое вдоль оси ox

отображаем симметрично относительно оси ox

отображаем симметрично относительно оси oy

сдвигаем вверх на 8 единиц

Пример (геометрические преобразования графика логарифмической функции y=ln(x)).

Построить преобразованием графика функции

Решение.

Используем свойства логарифма:

Таким образом, имеем цепочку преобразований графика логарифмической функции:

график исходной функции натуральный логарифм

сжимаем вдоль оси oy втрое

растягиваем вдвое вдоль оси ox

отображаем симметрично относительно оси oy

сдвигаем вверх на 2 единицы

Преобразование графиков тригонометрических функций подчиняется общей схеме геометрических преобразований . Единственно хочется обратить внимание на влияние коэффициента k2 на период тригонометрических функций. При отличном от единицы коэффициенте k2 период становится равным . То есть, при растяжение графика функции вдоль оси абсцисс соответствует увеличению периода, а при сжатие графика соответствует уменьшению периода. Коэффициент k1 влияет на амплитуду колебаний синусоиды и косинусоиды.

Пример (геометрические преобразования синусоиды y=sinx).

С помощью преобразования графика функции y=sinx построить

Решение.

Приводим функцию к виду шаблона :

Имеем k1=3, k2=0,5, a=3, b=-2, причем перед коэффициентом k1 стоит знак «минус», перед k2 минуса нет.

Таким образом, цепочка преобразований графика функции y=sinx примет вид:

Поэтапное преобразование графика синусоиды. Графическая иллюстрация.

График исходной синусоиды y=sin(x) . Наименьший положительный период равен . Максимумы находятся в точках , минимумы – в точках .

Растягиваем вдоль оси ординат втрое (амплитуда колебаний при этом возрастает в три раза). Наименьший положительный период равен . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Растягиваем вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое увеличивается . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

С двигаем график вправо на 3 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

С двигаем график вниз на 2 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки минимумы – в точки

Э тим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=sinx завершается.

Пример (преобразование тригонометрической функции y=cosx).

Построить график функции преобразованием косинусоиды y=cosx.

Решение.

Приводим функцию к виду шаблона :

Имеем , причем перед коэффициентом k2 стоит знак «минус», перед k1 минуса нет.

Таким образом, цепочка преобразований графика тригонометрической функции косинус примет вид:

Поэтапное преобразование графика косинусоиды. Графическая иллюстрация.

Исходный график y=cos(x) . Наименьший положительный период равен . Максимумы находятся в точках , минимумы – в точках .

Растягиваем вдоль оси ординат в 3/2 раза (амплитуда колебаний при этом возрастает в 3/2 раза). Наименьший положительный период равен . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Сжимаем график вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое уменьшается . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Симметрично отображаем относительно оси ординат. В силу четности функции график при этом не изменится.

Сдвигаем график вправо на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Сдвигаем график вверх на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=cosx завершается.

Пример (преобразование тригонометрической функции y=tgx ).

С помощью геометрических преобразований графика функции y=tgx построить

Решение.

Приводим функцию к виду шаблона :

Имеем , причем перед коэффициентами k1 и k2 стоит знак «минус».

Таким образом, цепочка преобразований графика тангенсоиды примет вид:

Поэтапное преобразование графика тангенсоиды. Графическая иллюстрация.

Исходный график y=tg(x) . Наименьший положительный период равен . Область определения .

Производим сжатие вдоль оси ординат в 2 раза. Наименьший положительный период при этом не меняется . Область определения остается прежней .

Растягиваем график вдоль оси абсцисс в 3/2 раза. Наименьший положительный период при этом равен . Область определения изменяется на .

Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Период и область определения при этом не меняются.

Симметрично отображаем относительно оси ординат. Период и область определения при этом не меняются. Стоит заметить, что график в точности совпадает с графиком двумя шагами ранее. Это объясняется нечетностью функции тангенса. То есть, если к нечетной функции применить симметричное отображение относительно осей ox и oy , то получим исходную функцию.

Сдвигаем график вправо на (примерно на полторы единицы). Наименьший положительный период при этом не меняется Область определения изменяется на .

Сдвигаем график вверх на (примерно на единицу). Период и область определения при этом не меняются.

Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=tgx завершается.

Пример (геометрические преобразования обратной тригонометрической функции y=arccosx).

Построить график функции преобразованием графика y=arccosx.

Решение.

Сначала от арккосинуса перейдем к арксинусу, используя соотношение обратных тригонометрических функций

Следовательно,

Таким образом, имеем цепочку преобразований арккосинуса в арксинус:

Поэтапное преобразование графика арккосинуса. Графическая иллюстрация.

Исходный график y=arccos(x) .

Отображаем симметрично относительно оси ox .

Сдвигаем вверх на .

Вот так перешли от арккосинуса к арксинусу

Теперь проводим геометрические преобразования графика арксинуса.

Имеем , причем перед коэффициентами k1и k2 знака минуса нет.

Таким образом, цепочка преобразований графика y=arcsinx примет вид:

Поэтапное преобразование графика арксинуса. Графическая иллюстрация.

График функции y=arcsinx . Область определения . Область значений .

Растягиваем вдвое вдоль оси ординат. Область определения не меняется . Область значений становится .

Растягиваем вдоль оси абсцисс втрое. При этом область определения расширяется до . Область значений не меняется .

Сдвигаем график на единицу вправо. При этом область определения переходит в . Область значений не меняется .

Э тим этапом задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершается.