15. Функция ez и ее свойства.

Функция является аналитической на всей плоскости С, то ее можно разложить в ряд Маклорена. f(z)=e^z.

f⁽ⁿ⁾(z)=e^e (n=1,2,3…)

f⁽ⁿ⁾(0)=e⁰=1 (n≥0)

.

Свойства:

• е' = e, в частности

  • Экспонента является единственным решением дифференциального уравнения y' = y с начальными данными y = 1. Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.

• Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.

• Экспонента является выпуклой функцией.

• Обратная функция к ней — натуральный логарифм ln x.

• Фурье-образ экспоненты не существует, однако преобразование Лапласа существует

• Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.

  • Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции: exp(a + b) = exp(a)exp(b).

  • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид exp, где c — некоторая константа.

• e = sinh x + cosh x где sinh и cosh — гиперболические синус и косинус.

16. Тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного. В плоскости комплексного переменного z тригонометрические функции определяются через функции sin(z), cos(z), которые выражены формулами , которые являются следствием формулы Эйлера. Мнимая единица j отличается от мнимой единицы i только обозначением. В пространстве Y эта единица фиксирует третье координатное направление. Алгебра этой единицы совпадает с алгеброй мнимой единицы i. Поэтому в силе остаются и формулы Далее формулы распространяются в пространство Y. При переходе от к получаем гиперболические функции в пространстве Y. Связь с тригонометрическими функциями. Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента. . .

17. Функция . Логарифмическая функция комплексного переменного. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется число  такое, что wⁿ = z. Для любого комплексного числа z существует n комплексных чисел w таких, что wⁿ = z. Значение корня, т.е. значение функции проще всего вычислять в тригнометрической форме. Если z = x + iy = r (cos + isin), то для любого целого положительного числа n имеет место формула Т.е. функция является многозначной функцией ^_ каждому значению аргумента отвечает n различных значений корня. Если w = f(z) =  f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), то где k = 0.1, … n-1

Логарифмом комплексного числа z называется такое число w, что exp(w) = z. Значения логарифмической функции f(z) = Ln(z) вычисляются по формуле Ln(z) = ln(|z|) + iArg z = ln(|z|) + iarg z + 2kp i,  k = 0,1,2,... Величину ln(|z|) + iarg z называют главным значением логарифма. Функция f(z) = Ln(z) является многозначной функцией ^_ каждому значению аргумента отвечает бесконечное множество различных значений логарифма.