12. Функции комплексного переменного: определение, геометрический смысл. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

Определение: функция задана на множестве G содержащихся в C, со знач G называется функции комплексного переменного (ФКП).

G=D(f), G – область или замкнутая область, комплексной области С.

z=x+yi=r(cosφ+isinφ)=re^iφ

w=u+iv=ρ(cos +isin )=

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

u(x,y) – Ref(z) – вещественная часть ФКП f(z)

v(x,y) – Imf(z) – мнимая часть ФКП f(z)

Задание этих функций равносильно заданию ФКП.

Геометрический смысл ФКП: с геометрической точки зрения w=f(z) есть отображение G комплексной z плоскости на множество G’, на комплексной w – плоскости.

Геометрическое изображнение ФКП. Однако универсальный способ изображения ФКП состоит в том, что рисуют множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении. Чаще всего берут координатные линии (декартовых или полярных координат) и находят их образы.

Число w₀ называется пределом функции w=f(z) в точке z₀ (или при z→z₀), если для каждого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех z≠z₀, удволетворяющих неравенству |z-z₀|<δ, выполняется неравенство |f(z)-w₀|<ε.

Записывают:

Пусть функция w=f(z) определена в точке z=z₀ и в некторой ее окрестности. Функция w=f(z) называется непрерывной в точке z₀, если

Определение: функция f(z) непрерывна в точке z₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответсввует бесконечно малое приращение функции:

13. Дифференцируемость, производная фкп. Геометрический смысл производной.

Определение производной. Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z=x+iy є C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел  . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.

В этом определении важно, что стремление ∆z→0 может проходить по любому пути. Вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x,y) и v(x,y), а требует некоторых дополнительных условий.

Определение: ФКП w=f(z) определяется в окрестности точки z₀ ФКП w=f(z) называется дифференцируемой в точке z₀, если существует комплексное число A=B+iC, такие что для приращения ∆w=f(z₀+∆z)-f(z₀) функция f(z) справедливо следующее представление: ∆w-α∆z+γ∆z, где γ=α-βi→0, ∆z→0.

14. Условие Коши – Римана. Понятие аналитической функции.

Условия Коши — Римана, называемые также условиями д’Аламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную u=u(x,y) и мнимую v=v(x,y) части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного w=f(z)=u+iv, z=x+iy.

Для того чтобы функция w=f(z), определённая в некоторой области D комплексной плоскости, была дифференцируема в точке z₀=x₀+iy₀ как функция комплексного переменного z, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части u и v были дифференцируемы в точке (x₀,y₀) как функции вещественных переменных x и y и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

Доказательство: 

1) Пусть ∆y=0,∆x→0

Тогда 

2) Пусть ∆x=0,∆y→0

Тогда 

Итак,  , поэтому  

Данные условия необходимы, но не достаточны

Теорема: пусть дана f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 

Пусть u(x,y) и v(x,y) - дифференцируемы в точке (x₀,y₀), и в этой области выполняется условие Коши-Римана. Тогда f(z) - дифференцируема в точке z₀=x₀+iy₀

Доказательство:

,α - бесконечно малая

, β - бесконечно малая

Надо доказать, что существует предел:

3) w=f(z) называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области

4) Функция называется аналитичной в области G, если она дифференцируема в области G

Понятие аналитичности функции относится к области, но бы и про конкретную точку будем говорить, что функция аналитична в этой точке, имея ввиду аналитичность в окрестности этой точки

1).Производной функции f(z) в точке z₀ мы будем называть предел отношения вида: 

2).Функция называется дифференцируемой в точке z₀, если у неё в этой точке существует конечная производная. Учитываются все пути ∆z→0