Примеры для самостоятельного решения
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Ответы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
1.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть функции
и
вместе со своими производными
и
непрерывны на промежутке [a;b].
Поскольку
,
т.е.
,
то, проинтегрировав второе равенство, получим формулу, которую называют формулой интегрирования по частям в определенном интеграле:
.
(2)
Пример
15. Вычислить
.
Решение.
Интегралы такого вида вычисляются по
формуле (2). Подынтегральное выражение
представим в виде произведения функции
и дифференциала
функции
.
Для этого полагаем
и
.
Из этих равенств находим
и
.
Подставим найденные
,
и
в формулу (2):
.
Пример
16. Вычислить
.
Решение.
В этом интеграле сделаем сначала замену
,
чтобы избавиться от иррациональности
в степени. Продифференцируем равенство
замены:
.
Поменяем пределы интегрирования:
− нижний предел изменения переменной
;
− верхний предел изменения переменной
.
Итак, имеем:
.
Полученный интеграл
точно такого же вида, как интеграл
,
рассмотренный в предыдущем примере.
Следовательно, мы его будем вычислять,
пользуясь формулой (2). Положим для этого
и
,
откуда имеем
и
.
Подставим найденные
,
и
в формулу (2):
.
Пример
17. Вычислить
.
Решение.
Применяем формулу (2), полагая
,
а
.
Тогда
,
.
По формуле (2) имеем:
.
Пример
18. Вычислить
.
Решение.
Применяем формулу (2), полагая
,
а
.
Из этих равенств имеем:
,
.
Следовательно,
.
Пример
19. Вычислить
.
Решение.
Применяем формулу (2), полагая
,
а
.
Из этих равенств имеем:
,
.
Следовательно,
.
При решении этого примера мы пользовались следующими известными формулами:
,
где [
]
,
и
.
Пример
20. Вычислить
.
Решение.
Применяем формулу (2), полагая
,
а
.
Из этих равенств имеем:
,
а
.
Следовательно,
={интеграл
найдем, сделав
замену
.
Поменяем
пределы интегрирования.
Для этого
подставим в равенство
,
определяющее
замену переменной, сначала нижний предел
и найдем
− нижний предел интегрирования после
замены, а потом верхний предел
и найдем
− верхний предел после замены}
.
Итак,
.
Пример
21. Вычислить
.
Решение.
Так как функция
в квадрате, то нам придется для вычисления
данного интеграла дважды интегрировать
по частям. Применяем формулу (2), полагая
,
а
.
Из этих равенств находим
и
:
,
.
Следовательно,
.
Итак, мы получили:
. (*)
Вычислим теперь
интеграл
.
Для этого опять будем интегрировать по
частям. Полагаем
,
а
.
Из этих равенств находим
и
:
,
Следовательно,
.
Подставим найденный результат в формулу (*) вместо интеграла и получим:
.