Примеры для самостоятельного решения
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
Ответы.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
.
1.5. Замена переменной в определенном интеграле
Пусть функция
непрерывна на промежутке [a;b].
Если
в свою очередь является функцией от
переменной
,
т.е.
,
,
и функции
вместе со своей производной
непрерывны на промежутке [
],
причем
,
а
,
то
.
(1)
Это и есть формула замены переменной в определенном интеграле.
Очень часто замена
переменной в определенном интеграле
осуществляется не по формуле
,
а по формуле
.
При этом функция
должна быть непрерывной, строго
монотонной на промежутке [a;b]
и иметь на этом промежутке производную,
не равную нулю. Пределы интегрирования
и
в этом случае находятся по формулам
и
.
Пример 8. Вычислить
.
Решение.
В подынтегральном выражении нужно
избавиться от иррациональности, т.е. от
,
поэтому здесь целесообразно сделать
замену переменной следующим образом:
.
Следовательно,
,
.
Теперь продифференцируем обе части
равенства
:
.
Затем найдем
пределы, в которых изменяется новая
переменная
,
при изменении переменной х
от 0 до 4, другими словами, надо поменять
пределы интегрирования. Для этого в
закон перехода к новой переменной
,
т.е. в равенство
,
надо по очереди подставить данные для
пределы интегрирования. Т.е. для нахождения
нового нижнего предела интегрирования
в равенство
надо подставить
и найти
:
,
а для нахождения нового верхнего предела
в равенство
надо подставить
и найти
:
.
После всех проделанных операций получаем:
{Так
как в числителе и знаменателе
подынтегральной дроби стоят многочлены
одинаковой степени, то надо выделить
целую и дробную части этого выражения.
Для этого в числителе к
прибавим и вычтем 2}
.
Пример 9. Вычислить
.
Решение.
Так как
,
то в этом интеграле нужно сделать замену
.
Продифференцируем это равенство:
.
Теперь поменяем
пределы интегрирования: подставим
в равенство
и получим
,
т.е.
;
затем подставим
в равенство
и получим
,
т.е.
.
После всех проделанных операций получаем:
.
Пример 10. Вычислить
.
Решение.
Для вычисления этого интеграла применим
так называемую универсальную подстановку,
т.е. замену переменной
.
Это возможно, т.к. на промежутке [
]
функция
непрерывна, монотонна и имеет производную,
не равную нулю. Из равенства
следует, что
,
т.е.
.
Далее воспользуемся
формулой
,
т.е.
.
Теперь поменяем пределы интегрирования:
подставим
в равенство
и получим
,
т.е.
;
затем подставим
в равенство
и получим
,
т.е.
.
После всех проделанных операций получаем:
= {воспользуемся
формулой 15
из таблицы простейших определенных
интегралов}
.
Пример
11. Вычислить
.
Решение.
Чтобы найти данный интеграл, сделаем
замену
,
так как
,
а
.
Найдем дифференциал равенства
:
.
Теперь поменяем пределы интегрирования:
;
.
Подставим все полученное в рассматриваемый интеграл:
.
Пример
12. Вычислить
.
Решение.
Избавимся от иррациональности в
подынтегральном выражении, т.е. от
,
используя для этого подстановку, т.е.
замену переменной,
,
.
Выбор этой подстановки обоснован тем,
что кроме иррационального выражения
под интегралом
стоит множитель х
в первой
(нечетной) степени. При дифференцировании
выражения
получим выражение
,
в котором и будет задействован этот
множитель х
в первой
степени. Итак, имеем:
,
т.е.
.
Теперь поменяем пределы интегрирования:
;
.
Подставим все полученное в рассматриваемый интеграл:
={воспользуемся
формулой 2
из таблицы простейших определенных
интегралов}
.
Пример
13. Вычислить
.
Решение.
Здесь подстановка
в отличие от предыдущего примера не
дает желаемого результата. Для нахождения
интегралов вида
можно использовать тригонометрическую
подстановку
.
С помощью такой подстановки избавляемся
от иррациональности, так как
.
В данном случае
,
поэтому воспользуемся подстановкой
.
Тогда
.
Поменяем пределы
интегрирования. Из того, что
следует, что
,
т.е.
,
а из того, что
следует, что
,
т.е.
,
и значит
.
После проделанных операций получаем:
{
на
промежутке
[
],
поэтому
на этом
промежутке}
{применим
фор-
мулу
,
следовательно,
}
{применим
формулу
}=
{применим
свойство 3}
.
Для нахождения
определенного интеграла
мы проделали следующие действия: умножили
на 4 и разделили на 4 подынтегральное
выражение и воспользовались равенством
,
следовательно,
.
Пример
14. Вычислить
.
Решение.
Так как подынтегральная функция
четная относительно
,
т.е.
,
то здесь нужно сделать либо замену
,
либо
.
Пусть
.
Тогда
.
Воспользуемся
соотношением между функциями
и
:
.
С учетом сделанной замены имеем
или
.
Теперь поменяем пределы интегрирования.
Для этого подставим в равенство
,
определяющее замену переменной, сначала
нижний предел
и найдем
− нижний предел интегрирования после
замены, а потом верхний предел
и найдем
− верхний предел после замены. После
всех проделанных операций имеем:
.
При вычислении
этого интеграла мы применили приведенное
выше свойство 2 определенных интегралов:
.