Раздел 1. Определенный интеграл
1.1. Понятие определенного интеграла
Рассмотрим задачу, которая в свое время положила начало интегральному исчислению. Это так называемая задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Пусть на промежутке
[a;b]
(
)
задана произвольная функция
.
Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную
графиком функции
и прямыми
,
,
(рис.
1).
0
Рис. 1
Полученную плоскую
фигуру называют криволинейной трапецией.
Для вычисления площади этой криволинейной
трапеции разобьем произвольным
образом отрезок [a;b]
на части точками xi
(i=0,
1, 2, . . . , n):
.
В каждом промежутке
(i=1,
2, . . . , n)
произвольным
образом выберем точку
и построим прямоугольник с высотой
и шириной
(рис. 2).
Рис. 2
Площадь такого
прямоугольника равна абсолютной величине
числа
.
Всего имеем п
таких
прямоугольников. Обозначим сумму чисел
через
,
т.е.
.
Сумму
называют интегральной суммой Римана
или просто интегральной суммой.
В случае, если
функция
неотрицательна на промежутке [a;b],
т.е.
,
величина
приближенно равняется площади
рассматриваемой криволинейной трапеции.
По-видимому, чем меньше будет максимальная
длина отрезков
,
являющихся шириной образованных
прямоугольников, тем больше будет таких
прямоугольников и тем меньше будет
отличаться сумма
от площади рассматриваемой криволинейной
трапеции.
Определение.
Если, при любом способе разбиения отрезка
[a;b]
на части точками xi
и при любом способе выбора точек
,
всякий раз последовательность чисел
будет иметь один и тот же предел
при
,
то функция
называется интегрируемой, а число
называется определенным интегралом
Римана или просто определенным интегралом
от функции
по промежутку [a;b].
Обозначают этот интеграл как
.
Таким образом, если функция интегрируема на промежутке [a;b], то
.
Число а называется нижним пределом интегрирования, а число b − верхним пределом интегрирования.
В случае, если функция неотрицательна на промежутке [a;b], то определенный интеграл в точности равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми , , (в этом состоит геометрический смысл определенного интеграла).
Теорема.
Если функция
непрерывна на промежутке [a;b],
то определенный интеграл
существует.
1.2. Свойства определенного интеграла
1. Если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, то определенный интеграл от любой функции равен нулю:
.
2. Если функция интегрируема на промежутке [a;b], то принимается соглашение:
.
3. Если
существуют определенные интегралы
и
,
то
.
4. Постоянный множитель выносится за знак интеграла:
.
5. Если
функция
интегрируема на промежутке [a;b],
то функция
интегрируема и на любом промежутке [
],
содержащемся в промежутке [a;b].
6. Если
и определенный интеграл
существует, то
.
7. Если
[a;b]
и определенный интеграл
существует, то
.
8. Если
существуют определенные интегралы
и
и
[a;b],
то
.
9. Если
функция
ограничена снизу и сверху на промежутке
[a;b],
т.е.
[a;b],
и определенный
интеграл
существует, то
.
10. Теорема (о cреднем). Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то в интервале (a;b) существует такая точка с, что
.
11. Определенный
интеграл как функция верхнего предела.
Если функция
интегрируема на промежутке [a;b],
то по свойству 5 эта функция интегрируема
и на любом промежутке [a;х],
[a;b],
т.е. интеграл
существует. При изменении х
значение интеграла
,
вообще говоря, будет меняться, и, таким
образом, этот интеграл представляет
собой функцию от х.
Интеграл
называют определенным интегралом с
переменным верхним пределом.
Теорема.
Если функция
непрерывна на отрезке [a;b],
то
,
[a;b],
т.е. производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, у которой вместо переменной интегрирования подставлен верхний предел.
12. Формула
Ньютона-Лейбница – основная формула
интегрального исчисления. Если
функция
непрерывна на отрезке [a;b]
и
–
какая-либо первообразная функции
,
то
.
Обозначая
,
последнюю формулу перепишем в виде:
.
13. Если
функция
интегрируема на промежутке [
]
и является четной на этом промежутке
(т.е.
[
])
, то
.
14. Если
функция
интегрируема на промежутке [
]
и является нечетной на этом промежутке
(т.е.
[
]),
то
.