- •Вычислительная математика лабораторный практикум
- •Содержание
- •Метод исключения Гаусса
- •Введение
- •Построение алгоритма исключения Гаусса
- •3. Реализация алгоритма Гаусса в Excel
- •4. Реализация алгоритма Гаусса в пакете Mathcad
- •5. Реализация алгоритма Гаусса на языке Turbo Pascal
- •6. Вычисление определителя и обратной матрицы
- •7. Выбор ведущего элемента
- •8. Числа обусловленности
- •9. Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные вопросы
- •1.Введение
- •Метод Якоби для решения слау
- •Метод Зейделя для решения слау
- •Задания для самостоятельной работы
- •5. Контрольные вопросы
- •Численные методы решения нелинейных уравнений
- •1. Введение
- •2. Отделение корней уравнения
- •3. Метод дихотомии для решения нелинейных уравнений
- •4. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений
- •5. Задания для самостоятельной работы
- •6. Контрольные вопросы
- •Полиномиальная интерполяция
- •1. Интерполяция данных каноническим полиномом
- •2. Интерполяционный полином Ньютона
- •3. Интерполяционный полином Лагранжа
- •4. Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные вопросы
- •Метод наименьших квадратов
- •1. Введение
- •2. Линейная аппроксимация
- •3. Аппроксимация нелинейными функциями
- •4. Аппроксимация полиномом
- •Задания для самостоятельной работы
- •6. Контрольные вопросы
- •1. Введение
- •2. Постановка задачи
- •3. Численное дифференцирование с заданной точностью
- •Модификация алгоритма численного дифференцирования Использование центральной разности (6.3) для приближения производной позволяет проводить вычисления с точность порядка :
- •Результаты вычислений сведем в таблицу:
- •5. Действия над приближенными числами
- •6. Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные вопросы
- •1. Введение
- •2. Метод прямоугольников
- •3. Метод трапеций
- •4. Метод парабол
- •5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •Метод Гаусса
- •7. Задания для самостоятельной работы
- •2. Провести расчеты знакомого уже нам интеграла ошибок
- •8. Контрольные вопросы
- •Список литературы
- •Учебное издание
Метод Зейделя для решения слау
Рекуррентное соотношение Якоби (2.2) можно несколько улучшить, если найденные при выполнении текущей итерации значения неизвестных сразу подставлять в правую часть выражения:
(2.11)
Такой процесс называется методом Зейделя или методом последовательных смещений. Векторы и в преобразовании (2.5) теперь будут иметь вид ; .
В случае преобладания диагональных элементов, согласно условия (2.7) метод Зейделя сходится быстрее, чем метод Якоби.
Метод Зейделя можно рассматривать как частный случай метода релаксации, в котором для улучшения сходимости вводится параметр :
(2.12)
при это нижняя релаксация, а при - верхняя релаксация. Метод Зейделя соответствует случаю .
Реализуем метод Зейделя в Excel. Рассмотрим методику на примере системы .
В качестве начального значения взято . Заданная точность =0,00001. Дальнейшее вычисление приведем в виде таблицы.
Таблица 2.1. Вспомогательная таблица для вычисления корней системы методом Зейделя
-
k
x1k
x2k
x3k
max|xik+1-xik|
0
1
0
1
-
1
2,33333
0,83333
0,83333
1,33333
2
2,00000
1,04167
1,01389
0,20833
3
1,99074
1,00116
1,00347
0,00926
4
2,00077
0,99875
0,99932
0,01003
5
2,00019
1,00007
0,99996
0,00133
6
1,99996
1,00003
1,00002
0,00006
7
2,00000
1,00000
1,00000
0,00004
8
2,00000
1,00000
1,00000
0,00000
Оценим число арифметических операций, выполняемых в итерационном процессе. Запишем фрагмент процедуры на языке Паскаль:
Kmax:=100; key:=false;
repeat
inc (k);
for i:=1 to n do
begin s:=b[i];
for j:=1 to n do s:=s - a[i,j]*x[j];
s:=s*tau/a[i,i]; x[i]:=x[i]+s;
end;
if abs (S)>eps
then key:=true;
until (not key) or (k=kmax);
где k- число итераций, n-размер матрицы . Видно, что для достижения заданной точности необходимо порядка операций.
Число итераций, необходимых для получения заданной точности , можно вычислить из так называемой априорной оценки погрешности (a priori- до опыта):
(2.13)
Действительно , откуда
(2.14)
Можно получить апостериорную (a posteriori – из опыта) оценку погрешности:
(2.15)
Апостериорная погрешность точнее априорной и ее можно использовать как еще один критерий завершения процесса итерации:
(2.16)
В заключение сделаем важное для приложений замечание. Метод Зейделя сходится для нормальных систем, т.е. систем, для которых матрица - симметричная и положительно определенная. Получить такую систему можно, умножив систему (1.1) на транспонированную матрицу , тогда
(2.17)
является нормальной системой.