9. Задания для самостоятельной работы

1. Из составленных Вами процедур и функций необходимо оформить модуль. Ваш модуль можно расширить, вводя в него процедуры решения СЛАУ, вычисления определителей и обратных матриц методами Жордана-Гаусса, Краута и другими методами.

2. Проведите тщательное тестирование разработанных Вами подпрограмм При проведении вычислительного эксперимента важно выделить, какие из параметров необходимо изменять в задаче. Не пытайтесь сразу изменять все параметры. Зафиксируйте их и, изменяя только один, следите за результатами расчетов, аккуратно записывая наблюдаемые изменения и делая выводы для следующих численных опытов. Необходимо вести лабораторный журнал, в который заносить необходимую информацию: постановку задачи, её математическую формулировку, разработку алгоритма, листинги процедур и функций с комментарием, результаты тестовых расчетов, результаты проведенного вычислительного эксперимента, выводы и предложения.

Для плодотворной работы в компьютерном классе необходима тщательная домашняя проработка материала, разработка алгоритма и написание программ, подробный план работы.

10. Контрольные вопросы

1. Объясните «прямой ход» метода Гаусса для решения СЛАУ.

2. Объясните «обратный ход» метода Гаусса для решения СЛАУ.

3. Как изменится методика решения СЛАУ с учетом выбора ведущего элемента?

4. Поясните формулу нахождения определителя матрицы по методу Гаусса.

5. Как можно найти обратную матрицу?

6. Для чего нужны нормы матриц и векторов? Основные формулы вычисления норм.

7. Как характеризует матрицу число обусловленности? Расчетные формулы для поиска числа обусловленности.

Лабораторно-практическая работа 2

Итерационные методы решения

систем линейных алгебраических уравнений

1.Введение

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений, рассмотренные нами в предыдущей работе, относятся к так называемым прямым методам, позволяющим получать решение после выполнения заранее известного числа операций. Одним из существенных недостатков прямых методов является возможность накапливания погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Кроме того, обычно в этих методах не учитывается структура матриц и зачастую приходится выполнять много лишних операций с нулевыми элементами при работе с ленточными, клеточными и другими типами разряженных матриц.

Альтернативой прямым методам являются итерационные или. методы последовательных приближений, в которых задается начальное приближение, а затем с помощью некоторого алгоритма, уточняющего решение, проводится цикл вычислений, называемых итерацией. В результате итерации находятся новые значения неизвестных. Таким образом, строится последовательность приближений , которая сходится к точному решению системы . Эффективность этих методов определяется скоростью сходимости. Положительным свойством итерационных методов является то, что погрешность в них не накапливается, поскольку точность вычислений в каждом приближении определяется лишь результатом на предыдущем шаге. Это позволяет использовать их для решения систем с большим числом уравнений, а так же при работе с плохо обусловленными матрицами, которые, как известно, сверхчувствительны к погрешностям. Кроме того, итерационные методы эффективны при работе с разреженными системами, поскольку не требуют хранения в памяти компьютера сразу всех элементов матрицы.

Часто итерационные методы используются в сочетании с прямыми для уточнения решений. Такие смешанные алгоритмы на практике достаточно эффективны.