1.1.3. Условные высказывания

Допустим, некто утверждает, что если случится одно событие, то случится и другое. Предположим, отец говорит сыну: "Если в этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично», я куплю тебе машину". Заметьте, что высказывание имеет вид: если р, то q, где р — высказывание В этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично», а q — высказывание Я куплю тебе машину. Сложное высказывание мы обозначим символически через . Спрашивается, при каких условиях отец говорит правду? Предположим, высказывания р и q истинны. В этом случае счастливый студент получает отличные оценки по всем предметам, и приятно удивленный отец покупает ему машину. Естественно, ни у кого не вызывает сомнения тот факт, что высказывание отца было истинным. Однако существуют еще три других случая, которые необходимо рассмотреть. Допустим, студент действительно добился отличных результатов, а отец не купил ему машину. Самое мягкое, что можно сказать об отце в таком случае, — это то, что он солгал. Следовательно, если р истинно, а q ложно, то ложно. Допустим теперь, что студент не получил положительные оценки, но отец тем не менее купил ему машину. В этом случае отец предстает очень щедрым, но его никак нельзя назвать лжецом. Следовательно, если р ложно и q истинно, то высказывание если р, то q (т.е. ) истинно. Наконец, предположим, что студент не добился отличных результатов, и отец не купил ему машину.

Поскольку студент не выполнил свою часть соглашения, отец тоже свободен от обязательств. Таким образом, если р и q ложны, то считается истинным. Итак, единственный случай, когда отец солгал, — это когда он дал обещание и не выполнил его.

Таким образом, таблица истинности для высказывания имеет вид

Случай	p	q
1	T	T	T
2	T	F	F
3	F	T	T
4	F	F	T

Символ называется импликацией, или условной связкой.

Может показаться, что носит характер причинно-следственной связи, но это не является необходимым. Чтобы увидеть отсутствие причины и следствия в импликации, вернемся к примеру, в котором р есть высказывание Джейн управляет автомобилем, а q — утверждение У Боба русые волосы. Тогда высказывание Если Джейн управляет автомобилем, то у Боба русые волосы запишется как

если p, то q

или как

.

То, что Джейн управляет автомобилем, никак причинно не связано с тем, что Боб русоволосый. Однако нужно помнить, что истинность или ложность бинарного сложного высказывания зависит только от истинности составляющих его частей и не зависит от наличия или отсутствия между ними какой-либо связи.

Рассмотрим следующий пример. Требуется найти таблицу истинности для выражения

.

Используя таблицу истинности для , приведенную выше, построим сначала таблицы истинности для и , учитывая, что импликация ложна только в случае, когда .

Теперь используем таблицу для , чтобы получить для высказывания

таблицу истинности

Случай	p	q	r	(p		q)		(q		r)
1	T	T	T	T	T	T	T	T	T	T
2	T	T	F	T	T	T	F	T	F	F
3	T	F	T	T	F	F	F	F	T	T
4	T	F	F	T	F	F	F	F	T	F
5	F	T	T	F	T	T	T	T	T	T
6	F	T	F	F	T	T	F	T	T	F
7	F	F	T	F	T	F	T	F	F	T
8	F	F	F	F	T	F	T	F	T	F
				1	2	1	*	1	2	1

Высказывание вида обозначается через . Символ называется эквиваленцией. Эквиваленция также иногда обозначается как (не следует путать с унарной операцией отрицания).

Очевидно, таблица истинности для определяет таблицу истинности для . Непосредственно из определения вытекает, что эквиваленция истинна только в случае, когда р и q имеют одинаковые истинностные значения.

Может возникнуть вопрос о том, как интерпретировать такие выражения, как , , и , в которых отсутствуют скобки. Во избежание неоднозначности лучше всегда использовать скобки. Однако здесь, как и в алгебре, имеется приоритет выполнения операций. Операции выполняются в следующей последовательности: ~, , , , . Поэтому указанные выражения можно интерпретировать как , , и .