15. Проекция вектора на ось. Основные свойства проекции.

Пусть в пространстве задана ось l (направленная прямая) и т. М, не лежащая на данной оси. Проекцией т. М на ось l называется основание М₁ перпендикуляра (нормали), опущенного из т. М на ось l. Если т. М лежит на оси, то проекция совпадет с точкой.

Дан вектор АВ^-, не равный 0, и ось l. Обозначу через А₁ и В₁ проекции точек на ось. Получился отрезок А₁В₁ меньшей длины, чем сам вектор. Проекцией АВ^- на ось l называется положительное число IА₁В₁I, если вектор и ось одинаково направленны; или же отрицательное число –IА₁В₁I, если они противоположны. А если т. А₁ и В₁ совпадают, то проекция равна 0.

Обозначается: пр._lАВ^- Можно записать символически: пр._lАВ^-=IА₁В₁I, если А₁В₁ (стрелки вверх, вверх) l или =- IА₁В₁I, если А₁В₁ (стрелки вниз, вверх) l.

Угол (у) между АВ^- и осью l получу сместив начало АВ^- на ось. Угол рассматривается обычно в промежутке от 0 до пи.

Свойства проекций.

1. Проекция а^- на ось l равна произведению Ia^-I на cos угла между вектором и осью: пр._lа^-=Ia^-I*cos<у

1 Следствие: Проекция >0, если вектор образует с осью острый угол; <0, если тупой угол; =0, если y=90.

2 Следствие: Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны.

2. Проекция суммы n векторов на одну ось равна сумме их проекций на эту ось:

пр._l(a^-+b^-+c^-)=пр._lа^-+пр._lb^-+пр._lc^-

3. При умножении вектора на число его проекция на ось так же умножается на это число:

пр._l(h*a^-)=h*пр._la^-

16. Разложение вектора по ортам координатных осей. Координаты вектора.

Дана прямоугольная система координат Ох, Оу, Оz в трехмерном пространстве. Выделю единичные вектора (орты) на каждой оси и обозначу i, j, k. Начало произвольного вектора совмещу с началом координат. Обозначу проекции вектора на оси:

пр._Оха^-=а_х пр._Оуа^-=а_у пр._Оzа^-=а_z

Нужно указать, что: а^-=а_х*i+a_y*j+a_z*k Это разложение любого вектора по ортам координатных осей. Чсла а_х, а_у, а_z называются координатами вектора а^-, т. е. координаты вектора – его проекции на ось. Данное равенство также записывается: а^-=(а_х;a_y;a_z).

17. Формула вычисления модуля вектора через его координаты. Направляющие косинусы.

Зная проекции вектора, можно найти его модуль (длину): Ia^-I=квадратный корень из а²_х+а²_у+а²_z

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Рассмотрев углы, образованные а^- с Ох, Оу, Оz, обозначу их как: <a, <B, <y. По 1 свойству проекций вектора на ось имеем: а_х=Ia^-I*cos<a a_y=Ia^-I*cos<B a_z=Ia^-I*cos<y Выражу косинусы:

cos<a= а_х/ Ia^-I cos<B= a_y/ Ia^-I cos<y= a_z/Ia^-I Эти числа и есть направляющие косинусы.

Нужно указать, что: cos²<a+ cos²<B + cos²<y =1

18. Действия над векторами, заданными своими координатами: линейные операции, равенства.

Линейные операции.

Линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями векторов (свойства 2 и 3). Т. к.:

а^-=(а_х;a_y;a_z) или а^-=а_х*i+a_y*j+a_z*k

в^-=(в_х;в_y;в_z) или в^-=в_х*i+в_y*j+в_z*k

То нужно записать:

1. а^-+в^-=(а_х+в_х)*i+(a_y+в_у)*j+(a_z+в_z)*k

2. ha^-=h*а_х*i+h*a_y*j+h*a_z*k ha^-=(h*а_х;h*a_y;h*a_z)

При сложении векторов складываются одноименные координаты, при умножении вектора на число умножаются все его координаты на число.

Равенство векторов.

Из определения вектора, как наравленного отрезка, следует, что два вектора равнытогда и только тогда, когда равны соответствующие координаты этих векторов:

а^-=(а_х;a_y;a_z) в^-=(в_х;в_y;в_z) а^-= в^- если а_х= в_х, a_y=в_y, a_z=в_z