18. Физическая интерпретация частотного коэффициента передачи оптимального фильтра.

Фильтр обеспечивающий выделение известного сигнала из смеси с «белым» шумом должен пропускать на выход гармонические колебания, частоты которых отвечают лишь тем участком спектра, где спектральная плотность полезного сигнала отлична от 0, при этом |K(ω)| должен быть пропорционален модулю спектральной плотности сигнала, т.е. тому вкладу в результирующий выходной сигнал, который вносится от того или иного участка спектра частот. Если спектр входного сигнала имеет дискретную структуру (например сигнал является периодическим), то изложенный выше принцип приводит к фильтрам с гребенчатой АЧХ широко применяемым в технике связи и радиолокации. Согласованный фильтр функционирует подобно

гребенчатому. Удается еще больше повысить вероятность обнаружения сигнала в виду целесообразного использования ФЧХ спектральной плотности сигнала. Сигнал на выходе согласованного фильтра достигает абсолютного максимального в момент времени t_o , когда все спектральные составляющие входного колебания складываются на выходе когерентно (синфазно) т.е. имея одни и те же фазовые сдвиги.

где Э – энергия сигнала.

Таким образом эффект согласованной спектрации связан с коррекцией фазовых соотношений между отдельными спектральными составляющими сигнала.

Рассмотрим условие компенсации начальных фаз всех гармонических составляющих входного сигнала. Согласно этому условию оптимальный или согласованный фильтр должен иметь такую ФЧХ, чтобы фазовый сдвиг в ней - φ_Ѕ(ω) был равен по величине и противоположен по знаку начальной фазе составляющей спектра входного сигнала (S_вх(ω))

Составляющие ФЧХ (-ωt_o) указывает на то, что пик выходного сигнала задержан относительно началам действия входного сигнала на время t_o.

19) Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса с длительностью u и τ

Вычислим спектральную плотность

Находим коэффициент передачи согласованного фильтра:

t_o = τ – максимум отклика на выходе приходящийся на момент окончания импульса.

U – амплитуда импульса;

A – постоянный коэффициент, имеющий размерность обратной спектральной плотности сигнала [A] = [1 / S(ω)]. Структурная схема согласованного (оптимального) фильтра. Структурная схема синтезируется по виду комплексногокоэффициента передачи К_Ф (iω).

Фильтр представляет собой каскадное соединение

3-х линейных звеньев:

1) масштабный усилитель с коэффициентом усиления А;

2) идеальный интегратор (интегрирующее звено) реализующего множитель (1 / iω).

3) устройство с коэффициентом передачи (1 – е ^-iωτ)

Реализуемого с помощью звена задержки сигнала на время τ, инвертора имеющего знак инвертора и сумматора. Передаточная функция звена задержки (идеальная линия задержки без потерь) равна е ^-iωτ

Отношение сигнал / шум:

20) Квазиоптимальные фильтры

В ряде случаев удаётся получить достаточно эффективную фильтрацию сигналов из смеси с “белым ” шумом применив фильтры более простой конструкции по сравнению с оптимальными фильтрами. Рассмотрим RC 4-х полюсник, интегрирующего типа.

_ц=RC – постоянная времени. На входе одновременно действует “белый” шум. Поскольку данная цепь линейна, то прохождение сигнала и шума можно рассмотреть независимо. Максимальная полезность сигнала на выходе достигается в момент окончания импульса.

Отсюда максимальное отношение на выходе цепи:

Э=Е²_и - энергия сигнала, В²/Гц. Приняв во внимание, что энергия видеоимпульсов, получим:

Множитель в [ ] даёт величину проигрыша в отношении сигнал/шум по сравнению с оптимальным фильтром. Введя параметр

х= /RC= /_ц, получаем:

Из графика видно, что при х = 1,25 функция достигает максимума. Выбираем соответствующее значение постоянной времени RC цепи, можно создать весьма простой квазиоптимальный фильтр (почти оптимальный)

Отношение сигнал/шум, который лишь на 11% меньше чем в согласованном фильтре.

Квазиоптимальные фильтры с приёмными характеристиками удается создать только для относительно простых сигналов. Требования: пропустить без ослабления колебания из той области частот где сосредоточена основная доля энергии сигнала.