4 Линейные операции над матрицами; их свойства.

Сложение матриц

Пусть А=(а_ij)и B=(b_ij) — матрицы одинаковых размеров  . Матрица C=(c_ij) тех же размеров   называется суммой матриц   и  , если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц   и  :      . Сумма матриц обозначается  . Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров и выполняется поэлементно:

Нельзя: 

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А=(а_ij) на число   называется матрица C=(c_ij) тех же размеров, что и матрица А, каждый элемент которой равен произведению числа   на соответствующий элемент матрицы А (  или  .)

Вычитание

А-В = В + (-1)В = С

Найти 2A-B, если  ,  . .

Свойства линейных операций над матрицами:

1. А+В = В+А - коммутативность

2. (А+В) + С = А + (В+С) – ассоциативность

3. Нулевая матрица О. А+О=А

4. (α+β­)*А = αА +βА

5. α*(А+В) = αА + αВ

6. Е*А = А

7. α(βА) = αβА

5 Произведение матриц, его свойства.

Правило умножения матриц а на матрицу b определяется, только для того случая, когда число столбцов матрицы а = числу строк матрицы b

m*n A = (a_ij)

n*q B = (b_jk) => A*B = C C=(c_ik) m*q

c_ik = ∑ⁿ_j=1a_ijb_jk

A = (a₁₁, a_12, a₁₃) *B = (b₁₁ = C=AB = a₁₁ b₁₁ + a₁₂ b₁₂ + a₁₃ b₁₃

b₁₂

b₁₃)

В общем случае, как следует из определения элемент c_ik – есть сумма произведений элементов i- строки на элементы k – столбца.

Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, т.е не является коммутативным: АВ ≠ ВА, если АВ=ВА, то матрицы коммутативны.

А = (а₁₁ а₁₂) – табл; det А = | а₁₁ а₁₂| = с

(321)*(3 8 9 = ВА=С(1*3) - можно(наоборот нельзя)

2 4 5

7 1 2)

У квадратной матрицы одного порядка произв АВ и ВА – всегда сущ-ет

Квадратная матрица А наз-ся не вырожденной или неособенной, если ее деторминант отличен от 0 detA ≠ 0

detA = 0 А= (а₁₁ а₁₂ det A = |а₁₁ а₁₂| = c (число)

а₂₁ а₂₂) - табл |a₂₁ а₂₂|

det A = 0 – выражденная (необратная)

det A ≠ 0 – можно обрат найти – неособенная

А^-1 – наз-ся обратной квадратной матрицы А, если выполн сл условия: А^-1А = АА^-1 = Е (1)

Тh – Всякая неособенная матрица А имеет обратную

6. Обратная матрица и ее отыскивание.

det А = 0 – вырожденная (необратн)

det А≠0 – неособенная (моно найти обрат)

А^-1 – обрат квадр матрицце А, если выпол сл условия:

А^-1А = А А^-1 =Е Th – Всякая неособенная матрица А имеет обратную

Нахождение А^-1:

• Метод присоединенной матрицы

Матрица называется транспонированной к матрице , если она получена из матрицы А заменой ее столбцов строками с теми же номерами, т.е. если .Таким образом, транспонированная к матрице А размера матрица имеет вид = и размер .

Обратная матрица А^-1 = *А’

Если для А сущ-ет А^-1, то она – единственная. Проверка: А^-1АВ = В САА^-1 =С А^-1А = Е

• Метод элементарных преобразований

Элемент пред-ия:

1. Перестановка строк

2. Умножение строки (столбца) на число отличное от 0

3. Прибавление к элементам строки (столб) соотв-щих элементов др строки (столб) предврительно умноженных на произвольную const.

Для данной А порядка n мы строим прямоуг А = (А|Е) размера n*2n.присоединяя к А справа матрицу Е такого же порядка

А -> А = (А|E) ->(E|B) -> B = A^-1

(3 4 3| 1 0 0) (1 0 0| )

A = (8 5 6| 0 1 0) = (0 1 0 | А^-1 )

(8 7 1| 0 0 1) (0 0 1| )