[Править]Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки   определена функция   Производной функции f в точке x₀ называется предел, если он существует,

[править]Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x₀

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

[Править]Дифференцируемость

Основная статья: Дифференцируемая функция

Производная   функции f в точке x₀, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x₀тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x₀ функции f в окрестности U(x₀) справедливо представление

 при 

[Править]Замечания

• Назовём Δx = x − x₀ приращением аргумента функции, а Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀) приращением значения функции в точке x₀. Тогда

• Пусть функция   имеет конечную производную в каждой точке   Тогда определена произво́дная фу́нкция

• Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.

• Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: 

Рис. 2

Придав произвольное приращение аргументу  , так чтобы  , перейдем к точке   с абсциссой   и ординатой  , где  .

Уравнение прямой, проходящей через точки   и   (секущей графика функции  , имеет вид:  , где отношение   представляет собой угловой коэффициент секущей ( .

Касательной к графику функции   в точке   называется предельное положение секущей  , при стремлении точки   по графику   к точке  .

Для того, чтобы секущая   при   стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел  , то есть , чтобы существовала конечная производная функции   в точке  .

Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от   к пределу при  :

Таким образом, получим, что  , где   - угол наклона касательной к оси  (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции   в точке   имеет вид

В случае бесконечной производной  .

Из уравнения секущей имеем:

Переходя в равенстве к пределу при  , получаем уравнение касательной к графику функции в точке   в виде  , то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку   оси абсцисс.

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно и   - длина пути, проходимого за время  , отсчитываемого от некоторого момента времени  .

Для определения скорости   в данный момент   придадим переменной  некоторое приращение  , при этом приращение пути будет равно  .

Отношение   называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени, начиная с момента времени  , и обозначается

Предел   называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени  .

Таким образом, мгновенная скорость в момент времени   прямолинейного движения, совершаемого по закону   равна значению производной  .

19. Формулы Тейлора и Маклорена. Остаточный член в форме Лагранжа.

Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика как наука позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

 Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

 

 

Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

  Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

 Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

 Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.

 Кроме того, можно показать, что остаточный член R_n+1(x) является бесконечно малой функцией при ха, причем долее высокого порядка, чем (х – а)^m, т.е.

 

.

 Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.