19. Решение неоднородных уравнений

1. Метод неопределенных коэффициентов

- квазиполином;

Сумма полиномов

Частное решение уравнения мы ищем в правой части только с известными коэффициентами.

Пример.

- частное решение

1. Квазиполеном

2. Находим частные решения для каждого слагаемого отдельно

, характеристическое число

3. Проверяем, является ли характеристическое число корнем характеристического уравнения, кратность корня равна .

4. Ищем частное решение уравнения в виде .

Пример

1)

Характеристический полином:

- общее однородное

2)

Характеристическое число

Кратность

3)

Кратность

5. Общее решение неоднородного уравнения

Пример

Кратность

20. Метод неопределенных коэффициентов

Метод Лагранжа решения ЛОУ

( - производная функция)

1. ЛОУ

ФСУ

2) , где - теперь уже не , а функции, которые надо найти (требуется).

, предположим, что

;

;

(получим (n-1) уравнение на функции )

, так как - решение однородного уравнения.

- линейная система относительно

21. Определитель системы - определитель Вронского

Пример

Ответ:

или:

22. Линейные уравнения с переменными коэффициентами

1)

ЛОУ

Если найти решение как-то (?).

Нет характеристического уравнения

2)Метод вариации

Частный случай.

1. Уравнение Эйлера

При помощи замены можно привести уравнение Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

ФСР для исходного уравнения состоит из функций:

Пример.

1) Решение в виде

Определяющее уравнение на

- решения (линейно независимые, следовательно, имеют ФСР)

Ответ:

23. Дискретные задачи. Задачи с дискретным временем. (Рекуррентные последовательности)

- рекуррентная последовательность -го порядка.

Последовательность Фибоначчи:

- характеристическое уравнение

24. Гармонические колебания

- закон Ньютона

- закон Гука

- дифференциальное уравнение 2-го порядка.

- уравнение гармонических колебаний.

Метод вспомогательного угла:

- амплитуда

- начальная фаза

2) Если есть сопротивление (сила трения), сила трения направлена против движения

- зависит от силы трения.

Уравнение в среде с трением

а) (трение велико)

При большом сопротивлении нет колебаний

Были рассмотрены уравнения свободной системы.

2. Колебания с вынужденной силой периодически воздействующей на систему

3’) (нет трения)

а)

и - соизмеримы (получим периодическую функцию)

и - не соизмеримы (не периодическую функцию)

- маятник Фуко

( совпадает с корнем )

(появилось явление резонанса)

Амплитуда колебаний неограниченно возрастает при

3”) Есть трение

- мнимое

- вещественное

- чисто мнимые

Явление резонанса в системе с трением не бывает

25. Система линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Векторный вид

Нахождение экспоненты от матрицы.

Определение.

- ряд сходится.

(сходимость обеспечена делением на n!)

Если матрица не диагональная, то это не так.

Если А матрицу привести к диагональному виду

( - диаг.)

Как дифференцировать ? Как ряд.

Теорема: Решение системы задается формулой - общее решение.

Доказательство (проверка):

Пример

Т – состоит из собственных векторов