14. Огибающее семейство кривых Определение

Если - уравнение семейства кривых, то кривая - называется огибающей для семейства кривых, если каждая кривая каксается другой кривой из семейства.

Как найти огибающие?

Фиксируем точку (х,у), через эту точку проходят 2 кривые и , перемещаясь вдоль огибающей получим, что .

Получаем тождество:

для точек огибающей.

Продифференцируем по х

0

В этой точке можно дифференцировать кривую семейства, на ней

Получим систему:

Итак, для уравнения огибающей надо решить систему.

15. Уравнение Клеро

, где - известно.

Метод параметра:

- общее решение.

- еще одно решение (особое)

- особое решение.

- огибающее решение

- общее решение

16. Ортогональные траектории

Надо найти семейство кривых которые в каждой своей точке ортогональны соответствующей кривой из

1. Составим дифференциальное уравнение , для семейства .

2. В уравнении заменяем получим . Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.

3. Общее решение - уравнение ортогональных траекторий.

Пример

2.

3.

- ответ

17. Уравнения высших порядков

1) ; надо n-раз проинтегрировать

2) надо пытаться получить порядок интегрирования

Из 1-го уравнения 2-го порядка, получаем 2 уравнение 1-го порядка

3) (явно отсутствует «x»)

Введем новую функцию

Новая переменная

18. Линейные уравнения n-го порядка

(ЛНУ)

функции от

(ЛОУ)

Можно определить линейный дифференциальный линейный оператор

1)Если решаем однородное уравнение

То есть ищем ядро оператора

1) - линейное пространство

2) - размерность

По ТСЕ решение уравнения зависит от n произвольных постоянных

Пусть базис

Базис называется фундаментальной системой решений (ФСР).

2. Если решаем неоднородное уравнение ;

Мы должны уметь обращать оператор

Надо подобрать какое-нибудь (частное решение)

Пусть это будет , тогда общее решение этого же уравнения

- структура общего решения ЛНУ

3. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами

С каждым дифференциальным оператором связок характеристический полином.

где - корни.

Аналогично разложим дифференциальный оператор на множители

Пример

- решение

- общее решение

Вывод: если - корни характеристического полинома, то - решения ЛОУ

а) предположим, что все корни различны, тогда все - различные функции (если они линейно независимы, то образуют ФСР)

- общее решение ЛОУ.

Теорема

Пусть и различны, - линейно независимы.

Доказательство:

От противного, (не все равные нулю)

Пример

4)Кратные корни

- решение, но некоторые из них совпадают и не могут быть линейно зависимыми.

не все решения.

Пусть - корень кратности

Пример

Теорема

Если - корень кратности , решением уравнения , является функция

Доказательство:

По индукции, что верно при докажем, что верно при .

Пусть - корень кратности

аналогично для дифференциального оператора.

по предложению индукции

- линейное уравнение первого порядка.

Решение этого уравнения имеет вид:

4. Комплексные корни.

Если комплексный корень

если уравнение с вещественными коэффициентами тоже с вещественными коэффициентами.

Комплексные корни входят парами

является решением

Вместо этих двух мы возьмем пару линейно независимых функции.

Лемма

Если линейный дифференциал имеет вещественные коэффициенты и решение (комплексное) ; - тоже решение.

решение

Замечание:

Комплексные кратные корни, если имеет корень кратности , тоже кратности

по ним записываем общее решение.