2.6. Представление синусоидальных функций времени комплексными числами

Пусть задано выражение синусоидального тока i = Imsin( t+ ). Как мы видели раньше, этому выражению соответствует вектор, длина которого равна Im, а угол наклона к горизонтальной оси  . Если этот вектор изобразить в комплексной плоскости (рис. 2.13), то его можно обозначить комплексным числом , которое называется комплексной амплитудой тока.

Рис. 2.13. Вектор тока на комплексной плоскости

    Комплексное действующее значение тока получается делением последнего выражения на :

.

    Здесь и дальше буквами с точкой над ними ( ) обозначаются комплексные числа, представляющие синусоидальные функции времени. Это ток, напряжение и ЭДС. Комплексные сопротивление и проводимость обозначаются прописными буквами Z и Y , а их модули строчными z и y. Комплексная мощность обозначается буквой S с волнистым значком  (тильда) над ней: .

 

2.7. Способы задания синусоидального тока

    Как следует из вышесказанного, синусоидальный ток можно задать четырьмя различными формами: уравнением i = I_msin( t +  ), определяющим мгновенное значение тока (значение тока в любой момент времени), волновой диаграммой, вектором и комплексным числом. При этом мы легко можем перейти от одной формы задания к другой.

 

Например: 1) i = 20sin( t+110 ), , ;
2) , , i = 8,49sin( t-60 );
3) , i = 5sin( t-143,1 ), ,
u = 100 sin ( t + 60 ).

     В качестве начальной фазы мы берем не 120 , которые указаны на волновой диаграмме, а тот угол, на который сдвинуто начало синусоиды. Начальная фаза на волновой диаграмме определяется ближайшей к началу координат точкой перехода синусоиды через ноль от минуса к плюсу – это 60 . Так как начало синусоиды смещено от точки 0 влево, то начальная фаза положительна.

2.8. Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока

    Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

    П е р в ы й: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

,                                                             (2.8)

где n – число ветвей, сходящихся в узле.

    В т о р о й: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:

,                                                     (2.9)

где m – число ветвей, образующих контур.

    Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Кирхгофа в векторной форме:	Законы Кирхгофа в символической форме:
(2.10)	(2.11)

    Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям (2.8) и (2.9); применение метода векторных диаграмм, основанного на уравнениях (2.10), использование в расчетах комплексных чисел и уравнений (2.11), являющихся основой символического метода.

Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви (рис. 2.14).

Токи первых двух ветвей известны: i1 = 8sin( t+30 ) А, i2 = 6sin( t+120 ) А. Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы.

Рис. 2.14. Узел электрической цепи

     Р е ш е н и е. 1. Непосредственное сложение синусоид:

i₃ = i₁+i₂ = 8sin( t+30 )+6sin( t+120 ) = I_3msin( t+ ₃).

    Сумма двух синусоид одинаковой частоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

A,

,

откуда  ₃ = 66,87 . Итак, i₃ = 10sin ( t+66,87 ).

    2. Применение метода векторных диаграмм.

В соответствии с первым законом Кирхгофа в векторной форме для цепи на рис. 2.14 имеем . В прямоугольной системе координат строим векторы и и находим вектор , равный их сумме (рис. 2.15).

Так как треугольник oab прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора I2m, то = А. Если треугольник получается не прямоугольным, то применяется теорема косинусов. Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:

Рис. 2.15. Векторная диаграмма токов

    3. Решение символическим методом.

Записываем комплексные амплитуды первого и второго токов:

A,

A.

    По первому закону Кирхгофа в символической форме

А.

    Модуль последнего комплексного числа равен амплитуде третьего тока, а аргумент – начальной фазе.

    Определяем показания амперметров. Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения токов и напряжений, поэтому

A, A, A.

    Обращаем внимание на то, что . Это не ошибка. В цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы. Можно складывать мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени), векторы и комплексные числа, но не численные значения токов и напряжений, не показания приборов.

    Следует заметить, что первый из рассмотренных в примере методов из-за громоздкости вычислительных операций с синусоидами практически не применяется.

    Метод векторных диаграмм удобен при решении относительно несложных задач.

    В символической форме, как будет показано ниже, можно рассчитать сколь угодно сложную линейную цепь.