2.5. Основные сведения о комплексных числах

    Комплексным числом называется выражение вида

,                                                      (2.6)

где – обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; – мнимая единица.

    Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = Re , b = Im . Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.

Геометрически комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости (рис. 2.8). Горизонтальная и вертикальная оси, отмеченные соответственно знаками + и +j, называются действительной (или вещественной) и мнимой. Действительная и мнимая составляющие комплексного числа представляют собой проекции вектора на эти оси.

Рис. 2.8. Вектор на комплексной плоскости

На рис. 2.8 с =   – модуль комплексного числа, равный длине вектора, а  = arg – аргумент комплексного числа. Так как а = c cos , а b = c sin , то = c (cos + j sin ) – тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера последняя преобразуется в показательную форму . Применяется еще и полярная форма , в самой простой форме задающая модуль и аргумент комплексного числа.

Свойства мнимой единицы (рис. 2.9): , , , , и т.д., .

Рис. 2.9. Единичный вектор в комплексной плоскости

    Два комплексных числа и называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 2.10):

, = . Изображающие их векторы симметричны относительно вещественной оси. Действия над комплексными числами. Сложение и вычитание производится над числами, записанными в алгебраической форме:

Рис. 2.10. Сопряженные комплексные числа

= , т.е. складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых: а = а₁+а₂, b = b₁+b₂. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов.

    Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:

+ = .

    Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:

                (2.7)

где с = с₁  с₂,  = ₁+ ₂;

,

где ,  = ₁ – _{ 2} .

    Что происходит с векторами при перемножении комплексных чисел?

    Изобразим на комплексной плоскости два вектора: ₁ – первый сомножитель и – результирующий (рис. 2.11). Последний получается умножением ₁ на комплексное число с₂е ^{j 2}.

На рис. 2.11 мы видим, что при умножении длина вектора возросла в с2 раз, а аргумент увеличился на  2. Рассматривая комплексное число как вектор, мы приходим к следующему выводу. При умножении вектора на комплексное число ае j , вектор растягивается в а раз и поворачивается на угол  .

Рис. 2.11. Перемножение комплексных чисел

    Так как , то при умножении вектора на  j он поворачивается на угол  90 (рис. 2.12).

Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа: x , или Иногда приходится производить умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Перемножение выполняется по правилам умножения многочленов с учетом того, что j2 = -1

Рис. 2.12. Умножение вектора на  j

=

.

    При делении, чтобы получить результат, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Этого можно достичь умножением числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель:

где ; .