35. Сферические системы координат. Якобиан сск. Вычисление тройного интеграла в сск

Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где

ρ − длина радиуса-вектора точки M;

φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;

θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

абсолютное значение якобиана равно:

Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x2 + y2 + z2).

Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами

36. Поверхностного интеграла 2-го рода

Пусть F — непрерывноевекторное поле, определенное на гладкой ориентированной поверхности с выбраннымединичным нормальным вектором n . Поверхностный интеграл 2-го рода векторногополя F по поверхности обозначается и определяется так:

Этот интеграл также называется потоком векторного поля F через поверхность .

поверхностный интеграл 2-го рода векторного поля поповерхности равен поверхностному интегралу 1-го рода нормальной компонентыэтого поля по .

Для поверхностного интеграла 2-го рода также используются следующие обозначения:

Pdydz Qdxdz Rdxdy — часто используемое обозначение;Ориентация поверхности

При определении поверхностного интеграла второго рода необходимо исключить из рассмотрения неориентируемые поверхности, такие, как, например, лист Мѐбиуса на рис. 2. Эту поверхность нетрудно сделать самим, взяв достаточно длинную полоску бумаги и склеив ее концы с предварительным переворотом одного из них на 180°. Если встать на Мѐбиуса в точке M , и затем двигаться по середине полоски закрашивая ее от края до

края в зеленый цвет, то, в конце концов, вся поверхность окажется зеленой. Это говорит о

том, что лист Мѐбиуса — односторонняя поверхность. Такая поверхность неориентируема в следующем смысле. На середине полоски отметим точку M (см. рис. 2), в ней выберем единичный нормальный вектор, и будем двигать этот вектор по середине полоски так, чтобы он все время оставался нормальным к поверхности. Тогда, вернувшись в M , вектор изменит направление на противоположное. Такое свойство характеризует

неориентируемые, или односторонние, поверхности.

Рис. 2. Лист Мѐбиуса.

Мы будем рассматривать только ориентируемые, или двусторонние, поверхности. Пустьповерхность гладкая, т. е. имеет касательную плоскость в каждой ее точке M (кроме граничных точек). В M существуют два единичных нормальных вектора: n1 и 2 1 n n .Выберем единичный нормальный вектор n в M и произвольный замкнутый контур C на, не иеющий общих точек с границей. Будем двигать n непрерывно при обходе C .

Если, возвращаясь в M , вектор n не изменяет направление на противоположное, то 

называется ориентируемой поверхностью. Выбор n снабжает ориентацией. Таким

образом, для каждой ориентируемой поверхности существуют две возможные

ориентации. Поверхность с фиксированной ориентацией называется ориентированной.

Ориентированные поверхности являются двусторонними, и выбор нормали n равносилен

выбору стороны поверхности, а именно той стороны, которая видна из конца вектора n.

Сведение Пов. Инт-2 к Пов. Инт-1:

Где: направляющие косинусы нормали, соответствующей выбранной стороне поверхности.