
- •1.Задача о вычислении объема цилиндрического тела. Двойной интеграл.
- •2.Свойства двойного интеграла
- •3.Замена переменных в двойном интеграле.
- •4.Вычисление двойного интеграла в Декартовой системе координат.
- •5.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
- •6.Тройной интеграл.
- •7.Свойства тройного интеграла.
- •2.11. Свойства тройного интеграла
- •9.Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат.
- •10. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •11.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля.
- •12.Производная по направлению скалярного поля.
- •13.Градиент скалярного поля, его свойства
- •14.Векторное поле. Векторные линии векторного поля.
- •15.Поверхностный интеграл первого рода, его свойства.
- •16.Методы вычисления поверхностного интеграла первого рода.
- •17.Поток векторного поля, его гидродинамический смысл.
- •18.Поверхностный интеграл второго рода, его свойства.
- •19.Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.
- •20.Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность. Теорема Остроградского-Гаусса.
- •22.Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
- •23.Задача о работе силового поля.
- •24.Криволинейный интеграл второго рода, его свойства.
- •25.Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
- •26. Формула Грина
- •27.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •28.Циркуляция вектора. Теорема Стокса.
19.Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.
Отметим здесь лишь сам факт существования такой взаимной зависимости.
Пусть поверхность S задана уравнением: z = f(x,y), причем f(x,y), f'x(x,y), f'y(x,y) - непрерывные функции в замкнутой области τ (проекции поверхности S на координатную плоскость Оху), а функция R(x,y,z) непрерывна на поверхности S.
Нормаль к поверхности S, имеющая направляющие косинусы cosα, cosβ, cosγ, выбрана к верхней стороне поверхности S. Тогда
Для
общего случая имеем:
*********************************
20.Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность. Теорема Остроградского-Гаусса.
Пусть
задано векторное поле
Определение |

На этот раз векторное поле порождает скалярное поле

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского можно представить в форме:
т.
е. поток векторного поля
через
замкнутую поверхность S
в направлении внешней нормали равен
тройному интегралу от дивергенции
векторного поля по области, ограниченной
этой поверхностью.
На
основании формулы (3.38) можно записать:
и,
переходя к пределу, стягивая V
в точку М
(при этом величина V
0
), имеем:
То есть есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.
Если
поток
,
то в область V
втекает большее количество жидкости
(если следовать ранее рассмотренному
примеру о течении несжимаемой жидкости),
чем вытекает из неё, т.е. внутри области
V
имеются источники жидкости.
Если П < 0, то внутри области V есть стоки.
Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т. е. при П ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.
Для характеристики точки можно использовать .
Если > 0, то данная точка есть источник,если < 0 - то сток.
Заметим,
что
можно
записать с помощью символического
вектора Гамильтона
в
следующем виде:
Отметим
свойства дивергенции (справедливость
которых рекомендуется показать
самостоятельно):
*********************************
21.Криволинейный интеграл первого рода, его свойства.
Пусть АВ - дуга гладкой кривой (рис. 3.1), на которой определена и непрерывна скалярная функция
f (x, y, z).
Выполним следующие действия:
1) разобьем дугу АВ произвольным образом на n частичных дуг ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn.
Через λn обозначим длину наибольшей из этих частичных дуг.
Понятно, что при λn → 0 автоматически n → ∞;
2)
выберем произвольным образом точки
;
3)составим
интегральную сумму вида
,
здесь под ΔSi
понимаем длины частичных дуг.
Определение |
Конечный
предел интегральной суммы αn
при λn
→ 0,
если он существует и не зависит от
способа деления дуги АВ
на частичные дуги ΔSi(i=1,...,n)
и от способа выбора точек Ni(xi,yi,zi)
ΔSi(i=1,...,n)
называется криволинейным
интегралом первого рода (по длине дуги)
от функции f(x,y,z)
по дуге АВ
и обозначается
Имеются самые различные истолкования криволинейного интеграла по длине дуги, как геометрические, так и физические.
Например: |

2)
если функцию f(x,y,z)
интерпретировать как плотность
распределения вещества вдоль дуги АВ,
то
-
масса дуги АВ.
Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от направления обхода дуги АВ, т.е.
Отметим условия существования интеграла (3.1).
Теорема |
Можно сформулировать и значительно более сильную теорему об условиях существования интеграла (3.1).
********************