Лабораторная работа №5 Тема: Численное решение дифференциальных уравнений

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

. (5.1)

Требуется найти на отрезке решение , удовлетворяющее начальному условию

(5.2)

Будем предполагать, что условия теоремы существования и единственности выполнены. Для решения используем метод Эйлера (метод первого порядка точности, расчетные формулы (5.3)) и метод Рунге-Кутта (метод четвертого порядка точности, расчетные формулы (5.4)) с шагом h и 2h. Отметим, что результаты могут сильно отличаться, ввиду того, что метод Эйлера, имея только первый порядок точности, используется, как правило, для оценочных расчетов. Ориентировочную оценку погрешности метода Рунге-Кутта можно вычислить по формуле (5.5) [2].

, где h – шаг разбиения. (5.3)

, где (5.4)

.

= (5.5)

Задание 1

Написать программу решения дифференциального уравнения методом Эйлера на отрезке с шагом и 2h и начальным условием _. Исходные данные для выполнения задания берутся из таблицы 5.1. Сравнить результаты.

Задание 2

Написать программу решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта на отрезке с шагом и 2h и начальным условием . Оценить погрешность по формуле (5.5). Исходные данные для выполнения задания берутся из таблицы 5.1.

Примерный фрагмент выполнения лабораторной работы на MathCad

1. Решить дифференциальное уравнение y’=f(x,y) методом Эйлера на отрезке [a,b] с шагом h c начальным условием y(a)=y₀ , f(x,y)=(3x-y)/(x²+y), a=2, b=3, h=0.1, y₀=1.

2. Решить дифференциальное уравнение y’=f(x,y) методом Рунге-Кутта на отрезке [a,b] с шагом h c начальным условием y(a)=y₀.

Таблица 5.1

N	Функция
1		2	3	1	0.1
2		3	4	1	0.1
3		0	1	2	0.1
4		2	3	1	0.1
5		1	2	1	0.1
6		0	1	1	0.1
7		0	1	2	0.1
8		0	1	1	0.1
9		2	3	2	0.1
10		0	1	3	0.1
11		1.5	2.5	2.2	0.1
12		1	2	1	0.1
13		0.1	1.1	1.25	0.1
14		1	2	0	0.1
15		3	4	1.7	0.1

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Проверить для дифференциального уравнения условия теоремы существования и единственности.

2. На какие основные группы подразделяются приближенные методы решения дифференциальных уравнений?

3. В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Эйлера?

4. Каков геометрический смысл решения дифференциального уравнения методом Эйлера?

5. В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта?

6. Какой способ оценки точности используется при приближенном интегрировании дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта?

7. Как вычислить погрешность по заданной формуле, используя метод двойного пересчета?