14.11.Относительная роль конвекции и диффузии.

Рассмотрим ситуацию и из системы уравнений МГД исключим поля и . С этой целью сделаем ряд преобразований (ниже считаем, что - это полное магнитное поле, включающее в себя и внешнее магнитное поле):

где .

Это позволяет получить уравнение, связывающее два поля и :

,

где - коэффициент магнитной вязкости.

Для того чтобы определить относительную важность конвекции (эффект переноса поля в результате движения плазмы, конвекция – латинск. перенос) и диффузии, нужен безразмерный критерий. С этой целью сравним порядок величин слагаемых в правой части (10)

,

где - пространственный масштаб изменения поля, - магнитное число Рейнольдса.

- это аналог числа Рейнольдса в динамике нейтральных газов. При >>1 диссипативные эффекты не существенны, преобладает конвекция над диффузией. Если << 1, то наиболее существенна диффузия. В случае 1 конвекция и диффузия одного порядка, следует сохранять все члены в уравнении (10) и в законе Ома. Анализ полей в такой ситуации более сложен, чем при << 1 и >> 1.

14.12. Диффузия в полностью ионизированной плазме (классическая диффузия и диффузия Бома). Равновесное состояние плазмы опишем системой уравнений: движения, состояния идеального газа и законом Ома. В плоскости ортогональной вектору имеем соотношения линейного приближения

, (14.11)

. (14.12)

Подставив (14.12) в уравнение (14.11), получим представление потока плазмы в виде

.

В случае, когда реализуется неравенство , (14.13)

диффузия называется классической. Эта диффузия является амбиполярной (amphi – греческ. двойственность) так как частицы обоих сортов дрейфуют с одинаковыми скоростями. Коэффициент диффузии пропорционален (аналогичное свойство имеется и для поперечной диффузии слабоионизированной плазмы). Отличительной чертой рассматриваемой ситуации является зависимость коэффициента диффузии от концентрации. По последней причине уравнение поперечной классической диффузии нелинейно:

.

Так как в полностью ионизированной плазме частота столкновений связана с температурой соотношением , для электропроводности имеет место соотношение , то коэффициент диффузии уменьшается при увеличении температуры: , В случае слабоионизированной плазмы закономерность противоположная .

В большинстве экспериментов вместо зависимости , наблюдается закономерность . Бом предложил эмпирическую формулу для коэффициента поперечной диффузии (диффузии Бома)

.

Одной из возможностей возникновения закономерности является нарушение неравенства (14.13), при этом имеет место представление

.

Имеются и другие интерпретации закономерности бомовской диффузии.

14.13. Свойства равновесных статических мгд конфигураций.

1). Общие свойства. Исследуем статические ( ) равновесные конфигурации, которые опишем системой уравнений

, (14.14) , (14.15) . (14.16)

Следствием (14.14) является ортогональность вектора по отношению и . Это означает, что давление остается постоянным на магнитных силовых линиях и на линиях электрического тока, т.е. давление постоянно на «магнитотоковых поверхностях».

Имеется аналогия между системой (14.14)- (14.16) и уравнениями для несжимаемой жидкости (В.Д. Шафранов) .

Установим взаимосвязь ,

то уравнение движения с учетом представления

можно записать в виде .

Таким образом, формально система уравнений

эквивалентна системе (14.14)- (14.16).

2). Одномерные статические конфигурации. Исключив из системы (14.14), (14.15) ток получим . (14.17)

Плоские конфигурации. Пусть , , тогда уравнение (14.17) принимает вид ,

что означает сохранение суммарного давления плазмы и магнитного поля

.

Важным примером таких конфигураций являются «токовые или нейтральные слои», в которых магнитное поле с обеих сторон плазменного слоя одинаково по величине, но противоположно по направлению. Такого типа образования имеются в космосе. В частности, «хвост » магнитосферы Земли является таким нейтральным слоем.

Цилиндрические конфигурации (пинчи). Рассмотрим ситуацию, когда магнитное поле азимутально: . В этом случае магнитное поле не только давит на плазму, как в плоском случае, но и добавочно сжимает ее за счет действия силы натяжения (см. последний член в уравнении (14.17)). Уравнение (14.17) можно представить в виде

. (14.18)

Этот результат может быть получен иначе, если в (14.17) использовать представление

,

где учтено представление .

В частном случае, если плотность тока постоянна: , то из уравнения

,

следует представление и уравнение (14.18) принимает вид

, (14.19) или , .

Представление (14.19) можно представить в виде , ,

или .

В случае цилиндрической ситуации вклад магнитного поля в формировании статической конфигурации больше, чем в случае плоской ситуации.