16. Основы электрогидродинамики.
16.1. Система уравнений электрогидродинамики (ЭГД). Электрогидродинамика,
как
самостоятельный раздел физики берет
свое начало с исследований Остроумова
Г.А. (1954). Изучение процессов в
электропроводящих средах (газах и
жидкостях) в приближении теории сплошной
среды основывается на использовании
системы уравнений Максвелла и уравнений
газовой динамики с учетом действия сил
электромагнитной природы. Отличие
электрогидродинамических (ЭГД) процессов
от магнитогидродинамических (МГД)
процессов заключается в том, что в ЭГД
процессах плотность энергии магнитного
поля пренебрежимо мала по сравнению с
плотностью энергии электрического
поля: 
.
По этой причине в приближении ЭГД делается пренебрежение влиянием магнитного поля. В электрогидродинамике обычно используется описание без учета релятивистскими эффектами.
Уравнения
Максвелла в
такой ситуации описывают продольное
(потенциальное) электрическое поле. ЭГД
волны имеют одну общую черту с ионно –
звуковыми волнами: используется
приближение потенциального электрического
поля. Однако существует принципиальное
отличие: ионно – звуковое приближение
для плазмы это двухжидкостное приближение
(описывается движение электронов и
ионов), а ЭГД приближение это одножидкостное
приближение. Как правило, в ЭГД носителями
электрических зарядов являются
положительные и отрицательные ионы,
влияние электронов не существенно.
Опишем процесс системой уравнений 
где
, 
,
-
электропроводность среды,
- скорость среды, 
,
-
плотность электрических зарядов при
движении тяжелых заряженных частиц
(ионов).
Напомним, что обобщенный закон Ома для медленных нерелятивистских процессов рассматривался в разделе 14.3 при описании МГД процессов, когда плазма описывалась как единая среда (в таком рассмотрении делалось пренебрежение плотностью тока благодаря слабому нарушению электронейтральности среды).
Следствием
того, что
,
является уравнение
,
или эквивалентное представление в виде закона сохранения зарядов
.
Для замыкания системы уравнений используются уравнения динамики несжимаемой электропроводящей жидкости.
Уравнение
непрерывности
(сохранения массы) с учетом несжимаемости
среды имеет вид 
, 
, 
,
- концентрация ионов.
Уравнение
движения 
,
где
- плотность среды (масса единицы объема),
- давление,
- ускорение силы тяжести,
- коэффициент вязкости,
- плотность сил электрической природы
(используются различные приближения
для описания
).
Представление для плотности силы
будет дано в конце этого раздела.
Уравнение состояния для давления (используются различные модельные описания)
,где
- температура жидкости
Уравнение
переноса тепла (уравнение
эволюции температуры
)
можно получить из уравнения изменения
внутренней энергии среды. Если температура
среды совпадает с температурой,
характеризующей внутренние степени
свободы, то тогда средняя энергия частицы
дается формулой
,
где
- теплоемкость при постоянном удельном
объеме. Для плотности внутренней энергии
среды
(
- концентрация ионов) используем уравнение
в интегральной форме 
,
где
- произвольный фиксированный объем и
поверхность, окружающая этот объем. Для
описания потока тепла используем закон
Фурье – Ньютона:
- поток тепла,
- коэффициент теплопроводности,
- проекция вектора
на внешнюю к поверхности
нормаль. Уравнение изменения внутренней
энергии приводится к виду
Из
произвольности объема
следует равенство нулю подынтегрального
выражения. Принимая во внимание уравнение
неразрывности
,
получим уравнение переноса тепла
,
,где
.
Плотность
электрической силы
в одном из возможных приближений имеет
вид
.