Тема 4. Арифметические и логические основы эвм

1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Системой счисления называется способ изображения чисел с помощью ограниченного набора цифр. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления каждая цифра представления числа имеет определенный вес, зависящий от ее позиции в этом представлении. Позиция цифры называется разрядом. Вес младшего разряда = 1. Вес i-го вычисляется по формуле N^i-1, где N – число, называемое основанием системы счисления. Цифры в представлении числа принимают значения 0,1,…, N-1.

Пример. А ₍₁₀₎ = 10 ²10 ¹10 ⁰ / 375, B ₍₂₎ = 2 ²2 ¹2 ⁰ / 101

Здесь нижний индекс обозначает основание системы счисления. В ЭВМ для представления чисел используется двоичная система счисления. Это объясняется тем, что вычисления в двоичной системе технически реализуются наиболее просто. Арифметические действия в двоичной системе осуществляются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Пример. 0 + 1 = 1

1. + 1 = 0 (при "1" переноса в старший разряд)

0 – 0 = 0 1 – 1 = 0

1 – 0 = 1 0 – 1 = 1 (при "1" заема из старшего разряда)

При подготовке информации для ввода в ЭВМ кроме десятичной системы счисления используются восьмеричная и шестнадцатиричная. В восьмиричной системе счисления для представления чисел используются цифры от 0 до 7, в шестнадцатиричной - цифры от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F. Буквы отражают числа 10, 11, 12, 13, 14, 15. Введение букв позволяет сократить длину записи 10¹10⁰ 2⁴2³2²2¹2⁰ 8¹8⁰ 16¹16⁰

Пример. 26 ₍₁₀₎ = 11010 ₍₂₎ = 32 ₍₈₎ = 1А ₍₁₆₎

2. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ

Поскольку для представления вводимой в ЭВМ и выводимой из нее информации используются, как правило, недвоичные системы счисления, то возникает необходимость в алгоритмах перевода чисел из одной системы в другую. Правила перевода для целых и дробных чисел различаются. В качестве примера рассмотрим перевод целых чисел.

1. Перевод целых чисел

Правило. Целое число A(N₁), представленное в системе счисления с основанием N₁ переводится в систему счисления с основанием N₂ путем последовательного деления числа A(N₁) на основание N₂, записанное в системе счисления с основанием N₁, до получения остатка. Полученное частное следует вновь делить на основание N₂ и этот процесс следует повторять до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Получаемые остатки от деления и последнее частное, записанное в системе счисления с основанием N₂ является значениями разрядов в порядке возрастания.

Пример. Найти двоичное представление для числа А₍₁₀₎ = 43₍₁₀₎ =

= к₅к₄к₃к₂к₁к₀ - искомое двоичное представление 43₍₁₀₎ = 101011₍₂₎

_43 2

42 _21 2

k₀ = 1 20 _10 2

k₁ = 1 10 _5 2

k₂ = 0 4 _2 2

k₃ = 1 2 1 = k₅

k₄ = 0

3. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В ЭВМ

Совокупность разрядов, отведенных для представления двоичного числа, образует разрядную сетку ЭВМ. Количество разрядов в разрядной сетке называется длиной или разрядностью сетки. Обычно длина разрядной сетки совпадает с количеством разрядов ячейки ОЗУ и сумматора, составляющего основу АЛУ. В ЭВМ применяются 2 формы представления чисел – с фиксированной запятой (точкой) и с плавающей запятой (точкой). Запятая определяет границу между целой и дробной частями. Сопоставим эти формы по 2-м критериям:

1. диапазон представимых чисел

2. минимальное по модулю представимое число не = 0 (точность решения)

Сопоставление произведем на конкретном примере, когда длина разрядной сетки = 8. Сначала оценим эти характеристики для представления числа с фиксированной запятой. В этом случае для представления целой и дробной частей числа отводится строго определенное число разрядов. Пусть данном примере запятая фиксирована между 3-м и 4-м разрядами. Снизу проставлены веса разрядов.

8 7 6 5 4 3 2 1

Знак 2³ 2² 2¹ 2⁰ , 2^-1 2^-2 2^-3

Старший разряд отведен для представления знака, например, "+" кодируется 0, а "-" – 1. Тогда максимальное представимое число = 15б875(10), а диапазон представимых чисел определяется неравенством: -15,875₍₁₀₎  А₍₁₀₎  15,875₍₁₀₎ . Очевидно, что минимальное по модулю представимое число А = 0,125. Рассмотрим вторую форму представления чисел в ЭВМ, в основе которой лежит экспоненциальная запись числа:

^A(10) = ^mA₍₁₀₎*10 ^PA ₍₁₀₎ , где m_A – мантисса числа А, Р_А – порядок числа А. Например, 45₍₁₀₎ = 0,45*10² = 4,5 * 10¹ = 450 * 10^-1. В двоичной системе экспоненциальная запись числа имеет вид:

А(2) = m_A(2) * 2^PA(2). В этом случае любое число А характеризуется 2-мя числами m_A и P_A, которые и размещаются в пределах разрядной сетки ЭВМ. Оценим возможности этой формы представления для случая 8-разрядной сетки ЭВМ. Однако теперь в 8-ми разрядах сетки должны быть представлены 2 числа m_A и P_A. Причем каждый со своим знаком. Будем считать, что m_A <1. Тогда максимальному по модулю представимому числу соответствует максимальное значение мантиссы 0,111₍₂₎ = 0,875₍₁₀₎ и максимальное значение порядка +111₍₂₎ = +7₍₁₀₎, то есть Аmax = 112₍₁₀₎. В результате получаем диапазон представимых чисел: -112₍₁₀₎  A₍₁₀₎  112₍₁₀₎. Минимальное по модулю представимое число не равное 0, определяется минимальным по модулю значением мантиссы m_Amin = 0,125₍₁₀₎⁴. Min – значение порядка, равное – 7₍₁₀₎. В итоге получаем Amin = 0,125*2^-7 = 1/1024 = 0,001.

8 7 6 5 4 3 2 1

Знак P_A 2² 2¹ 2⁰ , Знак m_A,2^-1 2^-2 2^-3

Сравнивая полученные характеристики 2-х форм представления чисел, приходим к выводу о преимуществе представления чисел с плавающей запятой. Однако реализация в ЭВМ этой формы более сложна. В современных ЭВМ представление с фиксированной запятой используется только для целых чисел, и арифметические действия над ними выполняются центральным процессором. Вещественные нецелые числа представляются в ЭВМ в форме с плавающей запятой, и арифметические действия над ними выполняются специальным процессором – сопроцессором.

4. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

Не только числа, но и вся остальная информация представлена в ЭВМ двоичными кодами. Эта двоичная информация обрабатывается узлами ЭВМ, среди которых обычно выделяют два типа:

1. комбинационные узлы (узлы без памяти)

2. узлы с памятью (узлы, использующие свою локальную память)

Комбинационные узлы характеризуются функциональной зависимостью F между векторами входов X и выходов Y, то есть Y = F(X). Представим комбинационный узел графически:

З десь n – число входов, а m – число выходов узла. На каждом выходе y_j этого узла реализуется функция y_j = fj(x₁,x₂,…,x_n), j = 1,2,…,m. Проанализируем свойства любой функции из этого множества. Сама функция и все ее аргументы принимают значения из множества {0,1} или, как иногда говорят, из множества {истинно, ложно}. Такие функции называются логическими и ли булевыми. Правила описан

F

ия этих функций изучаются в булевой алгебре, представляющей из себя одну из глав математической логики. Поскольку множество значений каждого аргумента x_i (i = 1,2,…,n) ограничено числами 0 и 1, то и множество значений всего набора аргументов входного вектора Х также ограничено. Если число аргументов = n, то число возможных значений вектора x = 2ⁿ . В связи с этим для булевой функции существует возможность ее описания с помощью таблицы. Эта таблица содержит полный перечень значений аргументов с указанием соответствующих им значений функции. Такую таблицу называют таблицей истинности булевой функции. Приведем примеры булевых функций.

Б улевы функции одного аргумента. Таблицы истинности. Аналитическое описание: y₀ = 0, y₁ = x, y₂ = x, y₃ = 1.

Функция y1 называется функцией инверсии. (Функция принимает значение, противоположное значению аргумента).

Булевы функции двух аргументов (примеры)

Наиболее часто употребляются функции конъюнкции (функция И), дизъюнкция (функция ИЛИ), функция Пирса, функция Шеффера. Аналитическое описание:

y₈ = x₁*x₂,

y₁₄ = x₁ v x₂,

y ₇ = x₁*x₂, y1 = x₁ v x₂

В таблице истинности:

y₁ – функция Пирса

y₇ - функция Шеффера

y₈ - функция И

y₁₄ – функция ИЛИ