Примеры

Задача №1: Найти частные производные для функции .

Решение: , , .

Задача №2: Найти , если .

Решение:

.

Задача №4:

Исследовать на экстремумы функцию .

Решение:

Координаты критической точки вследствие гладкости функции должны удовлетворять системе

или

Из системы уравнений получим пять критических точек:

Так как для любой области , то возможно дальнейшее исследование поведения функции в стационарных точках с помощью достаточного условия экстремума:

Отсюда получим, что в точке : . Так как этот является ни чем иным как отрицательно определенной квадратичной формой (5.11), то можно сделать вывод что в точке функция имеет строгий локальный максимум.

Рассмотрим точку : .

Для анализа запишем матрицу этой квадратичной формы и применим критерий Сильвестра.

Выпишем главные миноры:

Распределение знаков миноров показывает, что данная квадратичная форма знакопеременная, таким образом в точке функция не имеет экстремума, то есть - седловая точка функции .

Аналогичным образом определяется, что и точки также являются Седловыми точками функции .

Задача №5:

Исследовать на экстремумы функцию .

Решение:

Имеем, что следовательно ни одна точка вне оси не будет критической.

Пусть , тогда

Таким образом, все точки оси являются критическими точками функции , в которых не существует. Из определения получаем, что если , если же для любого . Итак, получается, что каждая точка на оси является критической точкой функции , и в каждой из них нарушены условия гладкости и эти точки, следовательно, являются седловыми точками функции .

Замечание: Из примера видно, что если в критической точке функция может не иметь даже хотя бы одной частной производной, и, следовательно, эта точка может быть равновероятно точкой локального минимума, локального максимума или седловой точкой.

Задача №6:

Исследовать на экстремумы функцию .

Решение:

Отсюда делаем вывод, что критическими точками функции будут и все другие . Из неравенства получаем, что . В каждой точке линии имеем, что , а также, если , то . Таким образом можно утверждать, что в каждой точке функция имеет нестрогий максимум, а в - нестрогий минимум. Найдем вторые частные производные функции .

Если , то квадратичная форма полуопределена, как и должно быть в точках нестрогого экстремума:

.

А для точки квадратичная форма - знакопеременная, следовательно, - седловая точка функции .

Задача №7:

Найти точки условного экстремума функции , если .

Решение:

В этом задании , матрица есть . Из условия следует, что все точки, удовлетворяющие данному условию, имеют ненулевые координаты, а значит и минор матрицы также отличен от нуля. Поэтому условие определяет на этом множестве функцию .

А теперь мы рассматриваем функцию , как функцию одного аргумента : . Из условия получаем, что откуда , подставляя, получим . В итоге для координат критической точки функции имеем систему уравнений:

Решая систему, получим, что возможными точками локального экстремума могут быть точки и .

Теперь рассмотрим в этих точках, из условия имеем . Тогда для имеем

,

откуда получим, что и точка является точкой локального условного минимума функции при условии , причем .

Точно также получим, что в точке , то есть эта точка является локальным условным максимумом функции при условии , причем .

Задача №8:

Найдем экстремальные значения функции на прямой .

Решение:

Запишем функцию Лагранжа

Координаты критических точек функции находятся из системы

отсюда получаем В точке (2,1,-2) выражение ,равное , есть знакопеременная квадратичная форма, следовательно, точка (2,1,-2) не экстремальная точка функции ,но эта точка может быть экстремальной точкой функции при условии связи. В самом деле, из условия связи имеем . Учитывая это соотношение, для получаем выражение ,которое есть отрицательно определенная квадратичная форма, и, следовательно, точка (2,1) является точкой локального максимума функции при условии связи

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла.

2. Интегрирование путём замены переменных.

3. Метод интегрирования по частям.

4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен.

5. Рациональные дроби. Простейшие дроби 1-4 типов, схема интегрирования дробей 1-4 типов.

6. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейшие дробей.

7. Метод неопределённых коэффициентов. Схема интегрирования рациональной дроби.

8. Интегрирование тригонометрических выражений вида с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

9. Частные приращения, полное приращение Ф2П. Частные производные Ф2П.

10. Полный дифференциал Ф2П.

11. Производная по направлению, градиент функции.

12. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

13. Определение экстремума Ф2П (локального экстремума). Необходимое условие экстремума Ф2П. Достаточное условие экстремума Ф2П.

14. Нахождение наибольшего, наименьшего значений Ф2П в замкнутой ограниченной области (глобальные экстремумы).

15. Формула Тейлора для ФМП.