25.2. Теорема Чебышева

Определение. Пусть Х₁, Х₂, ..., Х_n={X_n} бесконечная последовательность случайных величин.

Говорят, что последовательность случайных величин {X_n} сходится по вероятности к величине Х (случайной или неслучайной, если для любого >0 имеем

Теорема Чебышева. Если Х₁, Х₂, ...., Х_n - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то

т.е. среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий.

Доказательство. Введем Х=

М =М = М (х₁+х₂+...+х_n) = (М(х₁)+ М(х₂)+...+М(х_n))

Равенство (26.4.) получено на основании свойств математического ожидания:

а) постоянный множитель выносится за знак математического ожидания;

б) математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

По условию Д (Х₁)  С, Д(Х₂)  С, ..., Д(Х_n)  С, т.е.

Д ( )  (с+с+...+с)= (25.5.)

Подставим (26.4.) и (26.5.) в неравенство Чебышева (26.1.), получим:

Р(| -М ( )|<)>1–

Переходя к пределу, будем иметь , ч. т. д.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин стремится по вероятности к постоянному (неслучайному) числу - среднему арифметическому математических ожиданий.

В частности, если М(Х₁)=М(Х₂)=...=М, (Х_n)=а, то

(практически достоверное событие).

Отсюда следует практическое применение теоремы Чебышева.

Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и среднее арифметическое принимают за величину искомого размера.

При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным?

По теореме Чебышева при условиях:

1) измерения попарно не зависимы,

2) имеют одно и тоже математическое ожидание,

3) дисперсии их равномерно ограничены.

25.3. Теорема Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний., в каждом из которых вероятность появления события А равна р, тогда .

(То есть относительная частота появления события А в n испытаниях сходится по вероятности к постоянной величине р - вероятности события А при n  ).

25.4. Центральная предельная теорема

Если закон больших чисел имеет дело со случайными величинами, то центральная теорема с их законами распределения (функциями).

Теорема Ляпунова (для случая одинаково распределенных слагаемых).

А. М. Ляпунов - русский математик, доказал эту теорему в 1900г. (1857-1918г.г.)

Если последовательность {X_к} состоит из независимых случайных величин X_к (к=1, 2, ...) имеющих один и тот же закон распределения (неважно какой) с математическим ожиданием m_х и дисперсией Д_х=_х², то закон распределения суммы У= приближено (тем точнее, тем больше n) равен нормальному закону с параметрами: а=n  m_х, =_х Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на распределения слагаемых.

Сформулированная теорема Ляпунова предполагает одинаково распределенные слагаемые. Она может быть доказана и для неодинаково распределенных слагаемых. Но всегда предполагается, что исследуемая случайная величина Y может быть представлена в виде большого числа независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из которых в отдельности мало влияет на сумму. В практических задачах часто применяют центральную теорему для вычисления вероятностей того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах.

Пусть Х₁, Х₂, ..., Х_n - независимые случайные величины с математическими ожиданиями m₁, m₂, ..., m_n и дисперсиями Д₁, Д₂, ..., Д_n.

И пусть условия центральной предельной теоремы выполнены.

Тогда вероятность того, что случайная величина Y= попадет в пределы заданного интервала выражается формулой

Р(  Y  )=Ф* –Ф* (25.6.)

где m_у, _у - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины Y, Ф* - нормальная функция распределения, функция Лапласа

m_у= (25.7.)

_у= (25.8.)

Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретных случайных величин является теорема Муавра-Лапласа, суть которой состоит в следующем.

Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то справедливо соотношение:

Р =Ф* ()–Ф* (), (25.9.)

где Y - число появлений события А в n опытах, g=1–р.

Из этой теоремы следует: если число испытаний велико и значения р не слишком близки к 0 и 1, то мы можем вероятности в биноминальном распределении вычислить по приближенной формуле (25.9.). Другими словами, нормальное распределение является предельным для биноминального.

При указанных условиях биноминальное распределение может быть заменено нормальным с параметрами m_y=np, _у=

Формула (25.9.) в этом случае выглядит так:

Р (m₁<X<m₂)  [Ф* (t₂)–Ф* (t₁)], где t₁= , t₂=

В частности, Р  Ф* (t).