- •Раздел III. Теория вероятностей и математическая статискика Лекция 17. Основные понятия теории вероятностей
- •17.1. Введение. Предмет теории вероятностей
- •17.2. Краткий исторический очерк
- •17.3. Случайное событие. Его частота
- •17. 4. Классическое определение вероятности. Непосредственный подсчет вероятностей.
- •Лекция 18. Алгебра событий. Основные теоремы теории вероятностей
- •18.1. Алгебра событий
- •18.2. Теорема сложения вероятностей
- •18.3. Полная группа событий. Противоположные события
- •18.4. Теорема умножения вероятностей Независимые и зависимые события.
- •18.5. Теорема умножения вероятностей независимых событий
- •18.6. Условная вероятность
- •18.7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •Лекция 19. Основные теоремы теории вероятностей (продолжение)
- •19.1. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •19. 2. Формула полной вероятности
- •19.3. Формулы Бейеса (формулы переоценки вероятностей гипотез)
- •19. 4. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Лекция 20. Случайные величины и их законы распределения
- •20.1. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •Понятие закона распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •20. 3. Биноминальное распределение
- •20. 4. Распределение Пуассона
- •20. 5. Простейший пуассоновский поток событий
- •21.2. Математическое ожидание и его основные свойства
- •21.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •21.4. Среднее квадратическое отклонение
- •21.5. Свойства дисперсии
- •21. 6. Понятие о моментах распределения
- •21.7. Определение интегральной функции распределения
- •21.8. Свойство интегральной функции
- •21.9. График интегральной функции
- •22.2. Вероятность попадания непрерывной случайной
- •22.3. Нахождение интегральной функции распределения по известной дифференциальной
- •22.4. Свойства дифференциальной функции. Ее вероятностный смысл
- •22.5. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
- •22.6. Начальные и центральные моменты
- •22.7. Коэффициент асимметрии
- •22.8. Эксцесс
- •22.9. Мода. Медиана
- •Лекция 23. Законы распределения непрерывной случайной величины
- •Закон равномерного распределения или закон равномерной плотности
- •23.2. Нормальное распределение
- •23.3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на интервал [
- •23.4. Правило трех сигм
- •Лекция 24. Система случайных величин
- •24.1. Понятие о системе случайных величин
- •24.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •24.3. Интегральная и дифференциальная функция распределения двумерной случайной величины и их свойства
- •24.4. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •24.5. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •24.6. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Лекция 25. Предельные теоремы
- •25.1. Закон больших чисел
- •25.2. Теорема Чебышева
- •25.3. Теорема Бернулли
- •25.4. Центральная предельная теорема
24.6. Коррелированность и зависимость случайных величин
Определение. Две случайные величины называют коррелированными, если Кху 0 (rху 0).
Определение. Х и Y называются некоррелированными, если Kxy=0 (rxy=0).
Две коррелированные величины так же и зависимы.
Обратное не всегда имеет место, т.е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными (Кху 0), так и некоррелированными (Кху=0).
Лекция 25. Предельные теоремы
Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы.
Теоремы I группы, объединенные общим названием «закон больших чисел», устанавливают факт приближения при определенных условиях среднего арифметического нескольких случайных величин к некоторым неслучайным величинам. Теоремы II группы, известные под общим названием: «центральная предельная теорема» - устанавливают факт приближения при определенных условиях закона распределения суммы случайных величин к нормальному закону. Нормальный закон является самым распространенным из законов распределения. Он возникает во всех случаях, когда случайная величина может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа независимых элементарных слагаемых, каждое из которых в отдельности мало влияет на сумму.
25.1. Закон больших чисел
На практике часто требуется установить закономерности поведения суммы достаточно большого числа случайных величин. Очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных величин приводит к результату, почти не зависящему от случая. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (остальные мы не рассматриваем).
Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим. Для доказательства этих теорем используется неравенство Чебышева.
Неравенство Чебышева.
Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа не меньше, чем 1– .
Р(|X–M(X)|<) 1– (25.1)
Доказательство. Т.к. события |X–M(X)|< и |X–M(X)| противоположны, то сумма их вероятностей=I, т.е. Р(|X–M(X)|< )+Р(|X–M(X)| )=1
Р(|X–M(X)|<)=1–Р(|X–M(X)| ) (25.2.)
Рассмотрим дисперсию
Д (Х)=
Это справедливо, т.к. подынтегральная функция>0, и уменьшая область интегрирования, уменьшаем интеграл
Д (Х)>2 =2 Р(| x–M(X)| ), т.е.
|x–M(X)| Р(|x–M(x)| )< (25.3.)
Подставляя (26.3.) в (26.2.), получим неравенство Чебышева (25.1.) что и требовалось доказать. Доказательство для дискретной случайной величины см. Гмурман, стр. 95. В частности, при =3(х) получаем
Р(|X–M(X)|<3)>1– это грубая оценка вероятности события. М(Х)–3<X<M(X)+3, («правило 3х сигм»).
Для практики неравенство Чебышева имеет ограниченное значение, т.к. дает грубую оценку. Но теоретическое значение его велико, т.к. используется в доказательствах других теорем.