22.5. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение

Пусть непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией распределения f(х) и все ее значения принадлежат отрезку [a, b]. Чтобы определить математическое ожидание, разобьем [a, b] на n отрезков длинною х₁, х₂, ..., х_n. Выберем на каждом отрезке произвольную точку х_i.

Составим сумму произведений возможных значений х_i на вероятность попадания в х_i (вероятность попадания в интервал х приближенно равен

f(х) х.).

Переходим к пределу при стремлении наибольшего из отрезков х_i к нулю получим определенный интеграл

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют определенный интеграл М (Х)= Если возможные значения принадлежат всей оси, то М (Х)= Математическое ожидание называют центром распределения вероятностей случайной величины.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Д (Х)= , если возможные значения принадлежат [a, b] и

Д (Х)= , если возможные значения принадлежат всей оси.

Определение. Среднее квадратическое отклонение (стандарт) непрерывной случайной величины определяется равенством  (х)=

Замечание 1. Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняется и для непрерывных.

Замечание 2. Можно получить для вычисления дисперсии более удобные формулы

Д (Х)= Д (Х)=

22.6. Начальные и центральные моменты

Начальные и центральные моменты для непрерывных случайных величин определяются также, как и для дискретных

_к=М (Х^к)= (22.2.)

_к=М [X–M (X)]^к= (22.3.)

Как говорилось выше, ₁=М (Х) характеризует среднее по вероятности значение непрерывной случайной величины Х или центр рассеяния.

₁=0, ₂= Д(Х) и характеризует меру рассеяния значений случайной величины относительно среднего значения или центра рассеяния.

22.7. Коэффициент асимметрии

₃ - третий центральный может служить для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения.

Дело в том, что нечетные моменты для распределения, симметричного относительно математического ожидания, равны 0, как интегралы (см. (7.3.)) от нечетной функции в симметричных пределах.

Если же распределение не симметрично относительно математического ожидания, то подынтегральная функция в интеграле (7.3.) не является симметричной относительно математического ожидания и интеграл (7.3.)  0, если к - нечетное.

Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии рассмотреть какой-либо из нечетных центральных моментов.

₁=0 для любых распределений. ₃ - наиболее простой из нечетных центральных моментов. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную характеристику асимметрии, ₃ делят на  ³ и берут в качестве «коэффициента асимметрии» или просто «асимметрии» величину: Аs=

Как связаны между собой тип кривой распределения и коэффициент асимметрии поясняют рисунки 1–3.

Рис. 1. Симметричное распределение (Аs=0)

Рис.2. Более «длинная» ветвь Рис 3. Более «длинная» ветвь

кривой справа (Аs>0) кривой слева (Аs<0)