22.2. Вероятность попадания непрерывной случайной

величины в заданный интервал

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения, принадлежащие интервалу [a, b], равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от а до b:

Р (a<X<b)=

Доказательство: Ранее доказали, что

Р (a  X<b)=F(b)–F(a).

По формуле Ньютона - Лейбница F(b)–F(a)= =

известно также, что Р (a  X<b)=Р (a<X<b)

Следовательно,

Р (a<X<b)= (22.1)

Что и требовалось доказать.

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее - интервалу [a, b], равно площади криволинейной функции распределения, осью ОХ, прямыми х=а, х=b (рис. 22.1).

Рис. 22.1

22.3. Нахождение интегральной функции распределения по известной дифференциальной

Зная дифференциальную функцию f(х), можно найти интегральную функцию F(х) по формуле: F(х)=

Действительно, F(х)=Р (Х<х), или, F(х)=Р (-<Х<х).

По формуле (22.1.) предыдущего раздела приняв а=-, b=х, получим:

Р (-<Х<х)= , или F(х)=

Геометрически связь f(х) и F(х) можно пояснить рисунком 22.2.

Рис. 22.2.

Пример. Найти интегральную функцию по данной дифференциальной функции:

Определить Р(2<Х<3).

Р (2<Х<3)= , или через интегральную функцию Р (2<Х<3)=F(3)–F(2)=

Замечание. График дифференциальной функции называют кривой распределения.

22.4. Свойства дифференциальной функции. Ее вероятностный смысл

Свойство 1. Дифференциальная функция неотрицательная f(х)  0

Доказательство. Интегральная функция F(х) -неубывающая, т.е. Но F`(х)=f(х), т.е. f(х)  0.

Свойство 2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от - до + равен единице:

Доказательство. выражает собой вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Такое событие достоверно, и его вероятность равна 1. Что и требовалось доказать.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и дифференциальной кривой распределения, равна 1.

В частности, если все возможные значения случайной величины, расположены на, то =1.

Рассмотрим вероятностный смысл дифференциальной функции распределения f(х)=F`(х), т.е. f(х)= F(x+x)–F(x) - вероятность, того, что х<X<x+х.

По аналогии с определением плотности массы в точке значения функции f(х) можно рассматривать как плотность вероятности в этой точке.

Если масса непрерывно распределена вдоль оси Ох по закону F(х), плотностью массы р(х) в точке х называют = р(х)

Поэтому часто, вместо термина «дифференциальная функция распределения», употребляют термин «плотность вероятности».

Т.к. х=dx и F`(x)=f(x), то можно записать F(х+x)–F(x)  f(x)dx.

Вероятностный смысл этого неравенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых низшего порядка относительно х) площади прямоугольника с основанием х и высотой f(х) (рис. 22.3).

Рис. 22.3