4. Основные понятия кинематики.

▼ Кинематика – это раздел механики, в котором описывается движение тел без пояснения этого движения.

▼ Основные понятия кинематики: пространство, время, перемещение, путь, скорость, ускорение.

▼ В механике под движением понимается его простейшая форма перемещения тела относительно других тел.

▼ Тело, относительно которого определяется положение других тел, называется телом отсчёта.

▼ Под системой отсчёта понимается тело отсчёта + часы.

▼ Время – под временем, в узком смысле этого слова, понимается показания некоторых часов.

▼ Часы – под часами понимается система (микроскопическая или макроскопическая), в которой совершается периодический процесс.

▼ Материальная точка – макроскопическое тело, размерностями которого можно пренебречь, по сравнению с масштабами его движения.

Пример: движение земли вокруг солнца.

Rз = 6.4 * 10^3 км

R 1.5 * 10^8 км

η = Rз / R 6.4/1.5 * 10^5 << 1 – в таком движении землю можно принять за МТ.

5. Скорость материальной точки (мт).

Очевидно, что разные МТ могут совершать разное перемещение  за одинаковое время t.

▼ Пусть МТ за время t совершило перемещение  .

_ср= /t (1) назовем средней скоростью движения МТ за время t. Будем уменьшать t.

▼ По определению предел = _ср=  /t (2) (если он существует), называется мгновенной скоростью движения МТ в момент времени t, это вектор.

Используя математическое определение производной, вторую часть формулы можно записать в следующем виде = (3), т.е. ▼ мгновенная скорость есть первая производная МТ от времени.

Разложим (3) по формуле =x(t) _x+y(t) _y+z(t) _z (4) по правилам дифференцирования.

_x , _y и _z фиксированные в пространстве и поэтому они постоянны во времени.

= = ( x _x+ y _y+ z _z)= ( x _x)+ ( y _y)+ ( z _z )= _{x + y + z} (5).

С другой стороны так же может быть разложен по формуле (4) в базисе

_x , _y и _z : = _{x x}+ _{y y}+ _{z z} (6).

Сравнивая (5) и (6) единством разложения вектора по базису получаем:

_x= , _y= , _z= (7).

6. Ускорение мт.

Понятно, что скорость также меняется во времени. Пример - разгон авто.

Введем характеристику, описывающую скорость изменения скорости (временное изменение).

Для этого рассмотрим отрезок траектории между двумя соседними точками М₁ и М₂, которые занимала МТ. В каждой точке направлен по касательной к этой траектории.

Введем разные векторы ₁ и ₂ по формуле  = ₂- ₁ (1).

▼ По определению вектор равный W= (2) (W=) называется вектором среднего ускорения за время t. Далее поступаем также как и с определением мгновенной скорости. Мгновенное ускорение МТ определяется как предел среднего ускорения (2) = _ср= (3) если этот предел существует.

▼ Мгновенное ускорение определяется = (4).

= , = ( ) (5).

▼ Выражение (5) обозначает вторую производную по времени от (производная от первой производной). = (6).

Разобьем  = _n+ _τ (8) по построению (М₁В= ), отвечает за удлинение вектора скорости МТ в процессе ее движения, а  _n отвечает за поворот  в процессе движения МТ. Представим (8) в виде (3) : = _n+ _τ (9) ; _n = (10); _τ= (11); _τ= = (12).

▼ _τ по величине характеризует быстроту изменения величины скорости и очевидно, при t→0 сам _τ будет направлен по направлению скорости в этой точке, т.е. по касательной, по этой причине _τ называется касательным или тангенсальным ускорением МТ. Рассмотрим И2, рассмотрим равнобедренный треугольник МАВ, α+2β= (13).

▼ _n – направленно - но к вектору .

( , , ) (14).

Проведем в М₁ и М₂ перпендикуляры к касательным. Они пересекаются в точке О.

Для малых t, М₁О М₂О=R (15).

Рассмотрим М₁М₂О. R / (17), R= (18).

▼ Величина определяемая по формуле (18) называется радиусом кривизны траектории.

Рассмотрим М₁М₂О и М₁АВ (они подобны). - величина перемещения (19).

=> (20).

.

Мы доказали (21).

▼ _n –величина которая определяется формулой (21) и которая направлена перпендикулярно к касательной к траектории называется нормальным вектором ускорения.