28. Сведение кратного интеграла к повторным

Пусть  — измеримое множество,  — также измеримое множество, определена и интегрируема на . Тогда

.

Любой d-мерный интеграл можно свести к d одномерным.

21. Разложение в ряд Фурье в интервале [−l, l]

Рассмотрим кусочно-непрерывную f (x), заданную в интервале [− L, L]. Используя подстановку , преобразуем ее в функцию

определенную и интегрируемую в интервале [−π, π]. Разложение в ряд Фурье для функции F (y) имеет вид

Коэффициенты Фурье для данной функции определяются формулами

Возвращаясь к первоначальным переменным, то есть полагая , получим следующие выражения для ряда Фурье исходной функции f (x):

где

Разложение в ряд Фурье в интервале [a,b]

Если функция f (x) определена в интервале [a,b], то ее разложение в ряд Фурье определяется той же самой формулой

где , а коэффициенты вычисляются следующим образом:

Четные и нечетные функции

Разложение в ряд Фурье четной функции, определенной в интервале [− L, L], имеет вид

где

Разложение в ряд Фурье нечетной функции, заданной в интервале [− L, L], выражается формулой

где коэффициенты Фурье равны

24. Основные сведения из теории преобразования Фурье

Тот факт, что функция  является Фурье-образом функции , будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: .

Свойства преобразования Фурье:

1. Теорема линейности.   , где . Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.

2. Теорема подобия. , где . Обозначив , получим

 

3. Теорема смещения. , где . Введя замену , получим .4. Теорема о свертке. Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций  и  называется функция

.

Фурье-образ свертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов, умноженному на : .5. Теорема об образе производной.

23, Пусть функция  определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке [–L, L] заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:

, (11.1)где

; (11.2)

 – частота k-й гармоники;   .

Введя в (11.1) выражения (11.2), получим

. (11.3)

При  величина . Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции  по переменной w в промежутке . Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при  вместо ряда получим интеграл

. (11.4)

Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интегралом Фурье. Теорема. Пусть функция , во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке , т.е. интеграл  сходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (–L, L). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к , т.е. равенство (11.4) выполняется при всех х из промежутка . Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.

20. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–l, l]

Система функций  (5.1)

ортогональна на промежутке [–L, L]Показать, что  следует самостоятельно.Каждой функции , кусочно-непрерывной на промежутке [–L, L], сопоставим ее ряд Фурье: . (5.2)

Коэффициенты Фурье , в соответствии с (3.1), определятся формулами

 (5.3)Ряд (5.2) называется тригонометрическим рядом Фурье.система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любой кусочно-непрерывной функции  ее ряд Фурье (5.2) сходится в среднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперь обозначениях примет вид . (5.4)

Левая часть последнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднее значение квадрата функции  на промежутке [–L, L].Частичные суммы тригонометрического ряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3) следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции  ее тригонометрическим полиномом Фурье,

.Введем понятие частичной суммы ряда Фурье f_N (x) функции f (x), заданной в интервале [−π, π]. Она определяется выражением

В комплексной форме частичная сумма f_N (x) функции f (x), заданной в интервале [−π, π] выражается формулой

14. Система функций f , …, f из  P называется (функционально)полной, если любая функция из P может быть записана в видt формулы через функ-ции этой системы. Для обоснования полноты системы функций в  k – значной логике можно так же использовать принцип сведения задачи о полноте других систем, Приведем некоторые примеры полных систем в  k – значной логике. 1.      Множество всех функций из  P   является полной системой. 2.Система Россера-Туркетта:   {0, 1, …, k-1, J (x),…, J (x), min(x,y), max(x,y)} – полная система в  P . Действительно, для произвольной функции из  P   справедливо равенство (2.4),

правая часть которого состоит из функций данной системы, т.е. любаz функция из  P выражается через эти функции. Определение. Множество  логических функций называется замкнутым классом, если любая суперпозиция функций из множества  снова принадлежит .

Всякая система  логических функций порождает некоторый замкнутый класс, а именно класс всех функций, которые можно получить суперпозициями функций . Такой класс называется замыканием  и обозначается . Если множество  - функционально полная система, то . а) Множество всех дизъюнкций, то есть функций вида  является замкнутым классом.б) Множество всех линейных функций является замкнутым классом, так как подстановка формул вида  после преобразований даёт формулу такого же вида.

13. Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства, то нормированные Ортогональная система функций будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным Ортогональная система функций - разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных Ортогональная система функций приобретают наглядный геометрический смысл. Например, формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова - Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость Ортогональная система функций означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т.д. Теорема (критерий полноты ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве). Пусть H -- сепарабельное гильбертово пространство и -- ортонормированная система векторов в нем. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) система полна;

2) система замкнута;

3) для любого вектора справедливо разложение

где -- коэффициенты Фурье вектора x относительно ортонормированной системы .

15. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства L²[ − π,π] с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система {φ₁,φ₂,...,φ_n,...} в гильбертовом пространстве R и f — произвольный элемент из R. Предположим, мы хотим представить f в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов {φ_k}:

Домножим это выражение на φ_k. С учётом ортогональности системы функций {φ_k} все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при n = k:

(f,φ_k) = c_k | | φ_k | | ²

Последовательность чисел

называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента f по системе {φ_k}, а ряд

∑

ckφk

называется рядом Фурье элемента f по ортогональной системе {φ_k}.

Ряд Фурье любого элемента f по любой ортогональной системе сходится в пространстве R, но его сумма не обязательно равна f. Для ортонормированной системы φ_k в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

• система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.

• система является полной, то есть в R не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам φ₁,φ₂,...,φ_n,... одновременно.

• система является замкнутой, то есть для любого выполнено равенство Парсеваля

.

• линейные комбинации элементов φ₁,φ₂,...,φ_n,... плотны в пространстве R.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента f равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов φ₁,φ₂,...,φ_n,.... В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

29. Замена переменных в кратных интегралах. Криволинейные координаты (цилиндрические, сферические). Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла.Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции z = F(u, v) в области D΄, где

                  F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)).                                                                (9.9)Рассмотрим интегральную сумму

где интегральная сумма справа берется по области D΄. Переходя к пределу при , получим формулу преобразования координат в двойном интеграле:                                                     (9.10)Аналогичным образом можно вывести подобную формулу для тройного интеграла:

             (9.11),где x = φ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w),

          ,                                                                                  (9.12)а область V пространства Оxyz отображается в область V΄ пространства Ouvw.

   Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

   в тройном интеграле.Найдем, используя формулы (9.4), (9.5) и (9.12), якобианы перехода от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим:

1. для цилиндрических координат

                                                                           (9.13)

1. для сферических координат

                               (9.14)

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:                                                                       (9.15)

    ,

где смысл обозначений понятен из предыдущего текста.

54. Фурье метод, метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828. Решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным однородным и краевым условиям, ищется по Ф. м. как суперпозиция решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием собственных функций и собственных значений некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по найденным собственным функциям. В частности, разложение функций в ряды и интегралы Фурье (см. Фурье ряд, Фурье интеграл) связано с применением Ф. м. для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Например, изучение малых колебаний струны длины l, имеющей закрепленные концы, сводиться к решению уравнения  при краевых условиях u (0, t) = u (l, t) = 0 и начальных условиях u (x,0) = f (x); u'_t (x, 0) = F (x); 0 £ x £ l. Решения этого уравнения, имеющие вид X (x) T (t) и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой:

.

Выбирая соответствующим образом коэффициенты A_n и B_n, можно добиться того, что функция

будет решением поставленной задачи.