42. Скалярное поле

Характеристики скалярного поля 1)                 Скалярное поле характеризуется поверхностью уровня (см. рис.) 2)                 Градиент поля определяется как вектор, составленный из частных производных                                   (1) Он направлен по нормали к поверхностям уровня и характеризует величину и направление наибыстрейшего изменения величины поля. Полный дифференциал скалярного поля  можно представить в виде: ,                         (2) где                        . 3)                 Производная по направлению  определяется как проекция градиента на данное направление     3 Частный случай: производная по нормали:                                           (4) 4)                 Частные и полные производные по времени Рассмотрим нестационарное скалярное поле: Скорость изменения r в фиксированной точке  равна  и называется частной производной (локальной производной). Пусть задана некоторая траектория в пространстве, где определено скалярное поле (рис. 3) Скорость изменения r вдоль траектории определяется как полная производная по t от сложной функции и равна:                 (5)  – конвективная производная, она связана с перемещением точки (частицы) из одной точки пространства в другую. Замечание: ОператорÑ «набла» – это греческое слово, означающее «арфа» – музыкальный инструмент, по форме напоминающий перевернутый треугольник. Характеристики векторного поля 1)                 Векторная линия – кривая, направление которой в каждой ее точке совпадает с направлением вектора , отвечающего этой точке (см. рис. 4) ,  и – коллинеарные (параллельные) векторы и, следовательно,  | | = .  = l Þ = l                                                 (6) 2)                 Производная от вектора по направлению определяется следующим образом:  (7) – направляющие косинусы вектора , в декартовой системе координат. Доказательство: Учтем, что и так далее, подставим в , получим: + + Итак, мы доказали . 3)                 Частная и полная производные по времени от вектора                                          (9) Доказательство: 4)                 Поток вектора через поверхность. Дивергенция – поток векторной величины через элементарную площадку (элементарный поток)                                                     (11) векторный поток через незамкнутую площадку;                                                    (12) поток вектора через замкнутую площадку.    – поток вектора скорости через поверхность S равен объему жидкости, протекающей через эту площадку поверхности за единицу времени. По теореме Остроградского-Гаусса (рис. 7)                              (13) Сжимая объем  и, следовательно  получим, используя теорему осреднения                                                     (14) Следовательно,  можно определить как предел                                                     (15)

16. Обобщенный ряд Фурье

Произвольный сигнал s(t) может быть представлен рядом где C_n – коэффициенты, зависящие от вида s(t), а u_n – n-я функция выбранного базиса , причем базисные функции на интервале ортогональности должны обладать свойствами: а) ортогональности , при , [a,b] – интервал ортогональности.

б) конечности энергии: . Величина этой энергии называется квадратом нормы: .

Коэффициенты обобщенного ряда Фурье определяются по формуле: .

Если набор базисных функций содержит комплексные функции, то свойства отображаются таким образом: - для ; здесь - функция, комплексно сопряженная u_k(t); , а комплексные коэффициенты ряда определяются соотношением: .

19. Парсеваля равенство. равенство вида  ,где a₀, a_n, b_n— коэффициенты Фурье функции f (x). Установлено в 1805 французским математиком М. Парсевалем (М. Parseval) при предположении о возможности почленного интегрирования тригонометрических рядов. В 1896 А. М. Ляпунов доказал, что это равенство справедливо, если функция ограничена в интервале (—π,π) и существует интеграл Стеклова установлена справедливость П. р. для рядов по др. ортогональным системам функций.

57. Необходимым условием экстремума функции f(x) в точке x⁽⁰⁾=(x₁⁰.. . , x_n⁰) является равенство нулю ее производной по любому направлению a=(a₁, .. .a_n): т.е. Малому смещению аргумента для функционала соответствует вариация (отсюда название вариационное исчисление) функций: где - функции из допустимого класса, обращающиеся в нуль на границе D. Аналогом производной по направлению служит первая вариация функционала: , где определяемая последней формулой вариационная, или функциональная производная , является аналогом градиента . Необходимое условие экстремума функционала следует из основной леммы вариационного исчисления: если для всех функций из допустимого класса, обращающихся в нуль на границе D, то непрерывная функция .

На практике функционал F задается в виде интеграла по области D от некоторой комбинации функций f₁ ... f_n, и их производных; в простейших случаях

Вычисление функциональной производной приводит к Эйлера-Лагранжа уравнениям - системе дифференциальных уравнений , j=1, ...., m с соответствующими граничными условиями.

Решения этой системы называется экстремалями функционала F. Экстремаль соответствует минимуму F при выполнении условия Лежандра [обобщающего требование неотрицательности квадратичной формы , гарантирующего минимум функции f(x)] Согласно этому условию, всюду на экстремали должна быть неотрицательна квадратичная форма с коэффициентом (в простейшем случае одномерной области D, когда ).

48. Физический смысл дивергенции.

Выясним теперь с помощью формулы div F(M)=lim((V)→0) 1/(V) ∫s∫(V, n)ds физический смысл дивергенции. Для этого будем рассматривать векторное поле F(M) как поле скоростей жидкости с плотностью р==1. Как установ­лено поток П=∫s∫(V, n)ds

вектора F(M) равен количеству жидкости, протекающей за еди­ницу времени через поверхность S в направлении нормали n. Пусть n — внешняя нормаль. Поскольку S — замкнутая поверхность, то очевидно поток вектора F(M) равен количеству жидко­сти, которое за единицу времени возникает или уничтожается в пределах области V, ограниченной поверхностью S. Назовем это количество суммарной мощностью источников (если П>0) или стоков (если П<0), расположенных в области V. Рассмотрим отношение1/(V) ∫s∫(V, n)ds. Оно представляет собой среднюю плотность источников (или сто­ков) , т. е. количество жидкости, возникающей (или исчезающей) за единицу времени в единице объема области V, а предел lim((V)→0) 1/(V) ∫s∫(V, n)ds при условии, что область V стягивается в точку М, можно назвать плотностью источников (или стоков) в точке М. Но этот предел равен div F(M). Таким образом, дивергенция векторного поля скоростей характеризует плотность источников жидкости.

Если div F(M )>0, то, как следует из формулы ∫_v∫∫ div F(M)dv=∫_s∫( F(M)n)ds , П>0, т. е. внутри области V имеются источники жидкости и из нее вы­текает жидкости больше, чем втекает; если div F(M )>0, то П<0, т. е. внутри области V имеются стоки жидкости и в нее вте­кает жидкости больше, чем вытекает. Если же div F(M )=0, то П=0, т. е. внутри области V нет ни стоков, ни источников и в нее втекает столько же жидкости, сколько и вытекает. Это, на­пример, имеет место для любой области V, расположенной в по­токе воды, текущей в реке. Для произвольного векторного поля div F(M) =0 имеет аналогич­ный физический смысл: дивергенция характеризует плотность источников поля.

46.Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:  .                          (15.8)Замечание 1. Ротор характеризует завихренность поля А в данной точке, то есть наличие вращательных движений, так как его модуль равен удвоенной угловой скорости в этой точке. Замечание 3. Можно дать другое, инвариантное, определение ротора. Для этого рассмотрим произвольное направление п, исходящее из данной точки М, и окружим эту точку плоской площадкой σ, перпендикулярной к п и ограниченной контуром λ. Приме-няя формулу Стокса, получим:     Разделив обе части этого равенства на σ и стягивая площадку σ к данной точке, найдем в пределе, что .Тем самым можно определить проекцию ротора на любую ось, то есть вектор rot A не зависит от выбора координатной системы.