5. Анализ искажений в заданной точке карты

5.1. Анализ искажения длин

Характер искажения длин определяется относительным масштабом длин по заданному направлению c. Если c = 1, то по данному направлению в исследуемой точке карты искажения длин не наблюдается. Если c >1, то длины линий по данному направлению на карте искажены в сторону их увеличения (отрезки растянуты). Если же c < 1, то отрезки в изображении на карте сжаты.

Относительные масштабы длин по заданному направлению определяются выражениями (8). Наибольшее значение относительный масштаб длин c имеет при u = u' = 0, то есть c_max = a. Наименьшее значение относительный масштаб длин c имеет при u = u' = 90°, то есть c_min = b. Величины m и n по своему значению находятся между a и b, в частном случае при a = b наблюдается соотношение m = n = a = b, то есть эллипс искажений имеет форму круга.

Пример. Для рассмотренного в разд. 3 примера 1 в заданной точке имеем

1. Максимальное увеличение длин в a = 1,179 раза по азимутам:

₁' =  ' + 180° = 133° 22';

₂' = ' + 360° = 313° 22';

2. Максимальное уменьшение длин в b = 0,850 раза по азимутам:

₁' =  ' + 90° = 43° 22';

₂' =  ' + 270° = 223° 22';

3. Уменьшение длин по меридиану в m = 0,967 раза.

4. Увеличение длин по параллели в n = 1,086 раза.

5. Задано направление на карте u' = 295°. Относительный масштаб длин по этому направлению определён графически по эллипсу искажений:

( c ) = 4,44 см ,

c = = 0,888.

Аналитическое определение:

= cos² u' + sin² u' =

= 0,719040,17861 + 1,382780,82139 = 1,26423,

откуда c = 0,8894.

Контроль:

tg u’ = tg u = (  2,1445) = 2,9739,

u = 288° 35' ,

c² = a² cos² u + b² sin² u =

= 1,390750,10158 + 0,723180,89842 = 0,79099;

c = 0,8894.

5.2. Анализ искажения площадей

Для исследуемой точки карты определяется относительный масштаб площади p, который является характеристикой искажения площади (численно равен площади эллипса искажений):

p = ab = mn sin .

Если p = 1, то площадь в данной точке карты не искажена. Если p > 1, то площадь искажена в сторону увеличения и если p < 1, то площадь искажена в сторону уменьшения.

Пример. Для рассмотренного в разд.3 примера 1 в заданной точке карты:

p = ab = 1,003 ,

p = mn sin = 1,003 ,

близко к единице, то есть площадь практически не искажена.

5.3. Анализ искажения направлений

На местности и на картах чаще всего направления задаются азимутами  и  '. В связи с понятиями ориентирный угол и дирекционный угол, применяемыми при рассмотрении эллипса искажений, необходимо знать связь между всеми этими величинами, которая имеет весьма простой вид:

на местности  = u +  ,

на карте  '= u' +  ' ,

причём, ориентирные углы  и  ' берутся со своими знаками.

Искажение азимута определяется разностью:

( –  ') = (u – u') + ( –  ') .

В свою очередь, имеется связь между дирекционными и ориентирными углами на карте и соответствующими им значениями на местности и наоборот:

tg u’ = tg u и tg u = tg u’ ;

tg ’ = tg  и tg = tg ’ .

При переходе от неискажённого  ( на местности ) к значению соответствующего  ' на карте необходимо выполнить следующие вычисления:

1) u =  -  ;

2) u' = arctg ( tg u) ; (9)

3)  '= u ' +  ' .

При переходе от искажённого значения  ' к соответствующему неискажённому  формулы (9) применяют в обратном порядке:

1) u’ =  ’ –  ’ ;

2) u = arctg ( tg u ') ;

3)  = u +  .

Пример.

1. Задан азимут на местности  = 127,5° .

Определяем соответствующий ему азимут  ' в исследуемой точке карты:

u =  –  = 127.5° – (– 55,8° ) = 183,3° ;

u' = arctg (  tg u ) = arctg ( 0,05766 ) = 182,4° ;

 '= u ' +  ' = 182,4° + ( – 46,6° ) = 135,8° .

Искажение азимута:

 -  ' = 127,5° – 135,8° = – 8,3° ;

 –  ' = ( u – u ' ) + (  -  ' ) = + 0,9° + (– 9,2° ) = – 8,3° .

2. Задан азимут на карте  ' = 313,4° в исследуемой точке.

Определяем азимут  на местности, соответствующий данному:

u '=  '–  ' = 313,4° – (– 46,6° ) = 360,0° ( 0° ) ;

u = arctg ( tg u ' ) = 0° ( 360° ) ;

 = u +  = 360,0° + (– 55,8°) = 304,2° .

Искажение азимута:

 –  ' = 304,2° – 313,4° = – 9,2° ;

 –  ' = ( u – u ') + (  –  ') = 0° + (– 9,2° ) = – 9,2° .

Искажение дирекционных углов определяется разностью (u – u '), которую можно определить в функции u или u ':

tg ( u – u ') = ;

или

tg ( u – u ') = .

Важной характеристикой искажений в заданной точке карты является максимальное искажение дирекционных углов

 = ( u – u'_max) = U – U ',

которое находится из выражений:

sin  = ;

cos  = ;

tg  = ;

tg ( 45° + ) = .

Величину U называют наиболее искажаемым дирекционным углом, а величину U '– наиболее искажённым дирекционным углом. Между U и U ' имеется зависимость:

U + U '= 90° .

Расчёт значений U и U ' ведётся по формулам:

U = 45° + ;

U ' = 45° - ;

tg U = ;

tg U ' = ;

Таких направлений в каждой точке четыре, по одному в каждой четверти.

Пример.

Имея значения полуосей эллипса искажений

a = 1,1793 и b = 0,8504,

вычисляем:

1. Наиболее искажаемый U и наиболее искажённый U ' дирекционные углы:

U = arctg () = + 49° 40' + 180° ;

U ' = arctg () = + 40° 20' + 180° ;

U₁ = 49° 40' , U₂ = 130° 20' , U₃ = 229° 40' , U₄ = 310° 20',

U₁' = 40° 20' , U₂' = 139° 40' , U₃' = 220° 20' , U₄' = 319° 40'.

Контроль:

U + U ' = 49° 40' + 40° 20'= 90° .

2. Максимальное искажение дирекционных углов:

 = 49° 40' – 40° 20'= 9° 20' .

Контроль:

sin  = = 0,16204 ( = 9° 20') ;

cos  = = 0,98860 ( = 9° 20') ;

tg  = = 0,16421 ( = 9° 20') ;

U = 45° + 4° 40'= 49° 40' ;

U ' = 45° - 4° 40'= 40° 20' .