2. Графоаналитический способ определения m, n и 

Если для анализируемой карты не известны уравнения проекции, то значения m, n и  можно определить графоаналитическим способом.

В ариант 1. В данной точке карты с географическими координатами (, ) строится угол  как острый угол между касательными к изображению меридиана и параллели, который затем измеряется транспортиром (рис.1).

Р ис.1

Для определения m и n достаточно измерить отрезки изображения меридиана l' и параллели k' между ближайшими линиями картографической сетки ₁ и ₂ (для l'), ₁ и ₂ (для k'). Измерения можно выполнять при помощи курвиметра или способом Шокальского с использованием циркуля-измерителя.

Значения m и n вычисляются по формулам:

m = = ;

(2)

n = = .

где l = ; k =  соответственно длины отрезков дуг меридиана параллели в натуре (на сфероиде);

N₀  знаменатель главного масштаба карты ( ₀ = 1: N₀);

L  длина дуги меридиана на земном сфероиде между параллелями с широтами ₁ и ₂;

K  длина дуги параллели на земном сфероиде между меридианами с долготами ₁ и ₂.

Значение L может быть определено как разность длин отрезков меридиана на земном сфероиде от экватора до параллелей с широтами ₁ и ₂:

L = X₂ – X₁ , (3)

где

X₁ = ;

X₂ = .

Здесь M , как и в выражениях (1),  радиус кривизны меридиана в точке с заданной широтой. Значения X₁ и X₂ могут быть выбраны из "Картографических таблиц" [ 7 ] по аргументам ₁ и ₂. Значение

K = (r arc1') (₂ - ₁)', (4)

где (r arc1') - значение длины одной минуты параллели с широтой, выбирается из "Картографических таблиц";

(₂ - ₁ )'  разность долгот, выраженная в угловых минутах.

Пример. На карте с  ₀ = 1 : 20 000 000 в точке с координатами  = 60° с.ш.,  = 30° в.д. измерены величины:

l' = 107,7 мм ,

k' = 60,6 мм ,

 = -72,8° (sin  = 0,95528).

Из "Картографических таблиц" выбраны значения:

X₁ = 5 540 944 м ,

X₂ = 7 769 116 м ,

r arc1' = 930 015 мм/мин ,

с учётом которых по формулам (2)(4) получаем:

L = 2 228 172 м = 2 228,17 106 мм ;

K = 930 015 мм/мин1200'= 1 116,02 106 мм ;

m = = = 0,9667 ;

n = = = 1,0860 .

Вариант 2. В исследуемой точке карты с географическими координатами (, ) задаётся прямоугольная система координат. В этой системе координат путём измерения определяются (с учётом знака) приращения координат соответственно l'_x, l'_y для изменения широты от значения ₁ до значения ₂, и k'_x, k'_y для изменения долготы со значения ₁ до значения ₂ (рис. 2).

Значения m и n, которые вычисляются по формулам

m = ;

(5)

n = ,

Рис. 2

где

m_x = ; n_x = ;

(6)

m_y = ; n_y =

являются проекциями относительных масштабов по меридианам и параллелям m и n на оси X и Y заданной системы прямоугольных координат. Значения l и k определяются так же как в варианте 1.

Значение угла  в данном случае вычисляется по формуле

 = arctg() , (7)

где в числителе p = m_xn_y - m_yn_x  относительный масштаб площади.

Пример. На карте с  ₀ = 1 : 20 000 000 в точке с координатами  = 60° с.ш.,  = 30° в.д. измерены величины:

l'_x = +95,9 мм , k'_x = + 9,8 мм ,

l'_y = -48,8 мм , k'_y = +60,0 мм .

Из "Картографических таблиц" выбраны значения:

X₁ = 5 540 944 м ,

Y₁ = 7 769 116 м ,

r_=60° arc1' = 930 015 мм/мин ,

с учётом которых по формулам (3) и (4) получаем:

L = 2 228 172 м = 2228,17 10⁶ мм ;

K = 930 015 мм/мин1200'= 1116,02 10⁶ мм ;

Откуда

l = = 111,40 мм ;

k = = 55,80 мм ;

По формулам (5)(7) вычисляем:

m_x = = +0,8609; n_x = = +0,1756;

m_y = = 0,4381; n_y = = +1,0753;

m = = 0,9659 ;

n = = 1,0895 ;

p = 0,86091,0753  (0,4381)0,1756 = 1,0026 ;

 = arctg() = 72° 18,4'.

Рассматриваемый пример соответствует приведённому выше примеру аналитического определения m, n и . Результаты графоаналитического способа хорошо согласуются с аналитическим решением.