15) Вывод уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и имеющую заданный нормальный вектор. Общее уравнение плоскости.

В ДСК каждая плоскость заданная уравнением 1ой степени относительно текущих координат x,y,z и обратно всякое линейное уравнение определяет плоскость в пространстве это уравнение вида Ax+By+Cz+D=0 Называется общим уравнение плоскости в пространстве вектор N(A,B,C) перпендикулярен плоскости и называется нормальным а уравнение плоскости порходящей через точку и нормальный вектор N(A,B,C) имеет вид A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 Если в этом уравнении раскрыть скобки и ввести обозначение D=-Ax₀-By₀-Cz₀ то придем к уравнению плоскости в общем виде Ax+By+Cz+D=0

16) Вывод уравнения плоскости в отрезках.

В декартовых координатах плоскость задаётся уравнением прямой первой степени относительно текущих координат xyz и обратно, всякое линейное уравнение определяет плоскость в пространстве и имеет вид Ax+By+Cz+D=0 Если D=0 то начало координат плоскости в точку O(0,0,0) плоскость проходит через начало координат, но если D не равно нулю, то разделим все уравнение на D Ax+By+Cz+D=0|:D

Ax/D+By/D+Cz/D+1=0 где a b c – велечины отрезков которые отсекают плоскость на координатных осях отсюда получается уравнение плоскости в отрезках x/a+y/b+z/c=1

17) Вывод уравнения плоскости, проходящей через 3 точки.

Данное уравнение основано на условии комплонарности 3х векрторов M₁(x₁,y₁,z₁) M₂(x₂,y₂,z₂) M₃(x₃,y₃,z₃) M(x,y,z) Выберим произвольную точку М и проведем через 4 точки 3 вектора которые представим в виде M₁M=(x-x₁,y-y₁,z-z₁), M₁M₂=(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁), M₁M₃=(x₃-x₁,y₃-y₁,z₃-z₁) Векторы комплонарны и потому линейно зависимы. Смешанное произведение этих векторов равно нулю. В этом случае определитель составленный из координат векторов должен обратиться в нуль.

18) Определение угла между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Угол между двумя плоскостями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 Вычисляется формулой cos фи=(N₁*N₂)/|N₁||N₂|=A₁*A₂+B₁*B₂+C₁*C₂/корень*корень

Условие параллельных 2-х плоскостей является коллинеарность их нормальных векторов: N₁||N₂ или A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂

Условием перпендикулярности двух плоскостей является равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов: (N₁*N₂)=0 или A₁*A₂+B₁*B₂+C₁*C₂=0

19)Вывод формулы расстояния от точки до плоскости.

Пусть даны плоскость Ax+By+Cz+D=0 и точка M₀ не принадлежащая плоскости выберем произвольную точку принадлежащую плоскости строим вектор M₀M Проекция вектора М₀М на направление вектора нормали N к плоскости будет искомым расстоянием D=(N*M₀M)/|N|=|A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)|/ Раскроем скобки под знаком модуля изменив знак на противоположный |-Ax+Ax₀+By+By₀-Cz-Cz₀| Введем постоянную D=-Ax-By-Cz, получится d=1/ *|Ax₀+By₀+cz₀+D| Если точка M₀ и начало координат лежат по одну сторону от плоскости то под модулем получается знак «-» И наоборот.