11) Разложение вектора по базису. Вычисление длины вектора. Условия коллинеарности векторов. Определение направления вектора с помощью направляющих косинусов.

В пространстве вектор а может быть разложен по базиу I j k т.е может быть представлен в виде a=a_xi+a_yj+a_zk коэффициенты этого разложения есть координаты вектора a(a_x; a_y;a_z) вычисляется по формуле |a|= _. Если координаты векторов a(a_x; a_y;a_z) и b(b_x; b_y;b_z) пропорциональны a_x/ b_x= a_y/ b_y= a_z/ b_z то эти вектора называются коллениарными. Для определения направления вектора используются углы между осями координат – альфа, бета, гамма. Направляющие косинусы   служат координатами единичного вектора: ; ; ; ;

Направляющие cos связанны соответствием cos²альфа+cos²бетта+cos²гамма=1

12) Определение скалярного произведения двух векторов. Привести формулы скалярного произведения. Условие перпендикулярности двух векторов.

Скалярным произведением 2х векторов (a,b) называется число равное произведению их модулей на косинус угла между ними: cos(a^b)=ab/|a|*|b|

(a*b)=|a|*|b|*cos|a^b|/ Физический смысл скалырное произведение силы F на вектор S равно работе А этой силы при переиещении материальной точки. Свойства скалярного произведения: (a*b)=(b*a), (a+b)c=(a*c)+(b*c),((лямда*a)b)=лямда*(a*b). Если a(a_x;a_y;a_z) и b(b_x;b_y;b_z) то скалярное произведение вычисляется по формуле (a*b)= a_x* b_x+ a_y* b_y+ a_z* b_z Если a=b то скалярный квадрат равен квадрату его модуля |a|= a²=

а перпендикулярен b тогда и только тогда когда a и b нулевые векторы,

а перпендикулярен b= a_x* b_x+ a_y* b_y+ a_z* b_z=0 работа Св-ва: 1) -антиперестановочн 2) -распредел 3) - сочетательн 4)  тогда и только тогда, когда   . 5) Если  ,  то  6) Если  ,то 7) 8)

13) Дать определение векторного произведения, двух векторов. Вычисление с помощью векторного произведения площадей параллелограмма и треугольника.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой третий вектор с=[a*b] модуль и направление которого определяется условиями: |c|=|[a*bs]|=|a|*|b|*sin(a^b), c перпендикулярен a и b, векторы a,b,c образуют правую тройк, тоесть елси смотреть с конца вектора с то кратчайший поворот вектора а к вектору b совершится против часой стрелки. Физический смысл- если F сила приложенная к точке b то момент M этой силы равен векторному произведению векторов AB и F тоесть M=|AB*F|. Свойства: [a*b]=-[b*a],[(a+b)*c]=[a*c]+[b*c],[(лямда*а*b)]=лямда*[a*b], Если a||b то [a*b]=0

4) Если   , то   5) Если   то (в декартовой СК) Если векторы    и     неколлинеарны и приведены к общему началу, то Площадь треугольника, построенного на векторах     и   ,

14) Определение смешанного произведения 3-х векторов и его геометрический смысл. Вычисление смешанного произведения векторов в координатной форме. Условие компланарности векторов.

Смешанное произведение 3х векторов называется число, равное скалярному произведению одного из векторов на векторное произведение двух других (a,b,c)=[a*b]*c=а*[b*c]. Геометрический смысл – в пространстве каждая 3-ка не комплонарных векторов приложенных к 1ой точке определяет параллепипед ребрами которых эвляются эти вектора. Объём параллепипеда построенного на данных векторах как на сторонах и приведенных к общему началку равен смешанному произведению этих 3х векторов. Необходимым и достаточным условием комплонарности 3х векторов a,b,c является равенство нулю их смешанного произведения (a,b,c)=0. Vпар-да=(|a*b*c|) Vтетраэдра=1/6Vпар-да=1/6|(a*b*c)|. Условия: (a*b)=0↔a перпендикулярен b, [a*b]=0↔ a||b,(a*b*c)=0