§6Математическое обеспечение сапр.

1. Аппарат моделирования

2. Математические средства и средства оптимизации

Моделью называется такой объект заместитель, который в определенных условиях может заменить объект оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, и обладая при этом рядом преимуществ по сравнению с оригиналом. (наглядность, обозримость, доступность испытаний и т.д.).

Моделирования разделяют на математическое (перспективное) и физическое (старое).

Математическое моделирования (ММ) заключается в замене физического. В его модели с достаточной точностью описывающей свойства.

К ММ предъявляют требования:

1) Универсальность – характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта.

2) Точность – оценивается степенью совпадений значений параметров оригинала со значениями тех же параметров рассчитанных с помощью ММ.

3) Адекватность – это способность ММ отображать заданные свойства модели с точночть не ниже заданной.

4) Экономичность – характеристика зависимости

Классификация ММ.

Признаки классификации	Типы ММ
Характер отображаемых свойств объекта моделирования	Функциональные структуры( топологические, геометрические)
Принадлежность модели к иерархическому уровню проектируемой системы	ММ микроуровня, макроуровня и метауровня
Степень детализации объекта моделирования	Полные математические модели и макромодели
Способ представления свойств моделируемого объекта	Аналитические, алгоритмические и имитационные мат. модели
Способ получения модели	Теоретические и эмпирические

Функциональные ММ предназначены для отображения … или информационных процессов, протекающих в объекте при его работе.

Структурные ММ производят состав элемента. Причем топологические воспроизводят только состав и связи в объекте. Геометрические – отображают размеры и взаиморасположение объектов в системе.

Подклассификация геометрических моделей

1) Аналитические ГММ отображают детали с несложными поверхностями путем задания линией уровней и поверхностей. (Для станков ЧПУ)

2) Алгебраические отображают условия принадлежности точек внутренним областям тел в виде сложных математических выражениий

3) Каркасные ММ – представляют модели и объемы сложной формы в виде множества конечных элементов (точек, кривых, элементарных объемов)

4) Кинематические ММ - представляют объект сложной формы путем перемещения некоторой образующей вдоль заданной пространственной траектории.

5) Канонически ГММ - связывают характерные точки объекта с его размерами и расположением посредством простых математических выражений. Используется в моделировании на плоскости программы

6) Геометрические макромодели

7) Сложные примитивы– элементы штриховки или элементы из библиотеки ст. изделий.

Принадлежность модели к иерархическому уровню проектируемой системы

Основная задача ММ микроуровня – модели базовых элементов

Основная задача ММ на макроуровне - модели сборочных едениц.

ММ сложных физических систем ,состоящих из подсистем сложных технических систем.

Основная задача ММ метоуровня – модели, позволяющие описывать функционирование сложных организационно-технических систем.

Степень детализации объекта моделирования

Полная ММ включает фазовые переменные, включающие фазы всех элементов и межэлементных связей.

Частичная (макро) модель исключает из рассмотрения ряд наименее существенных элементов и связей .

Теоретические и экспериментальные модели.

Этапы математического моделирования.

1 этап – содержательное описание и точная постановка задач.

Выполняются следующие операции:

1. Четко формулируется цель объекта и его назначение.

2. Выбираются свойства объекта подлежащие операции и анализируются информация о влиянии на функционирование объекта выбранных параметров и свойств внешней среды.

3. Выявляется совокупность допущений и ограничений при решении задач моделирования.

4. Выбор критериев для оценки эффективности исследуемой системы

2 этап – синтез структуры математической модели.

Выполняются следующие операции:

1. Выбор факторов определяющих функционирование объекта выражаемых количественно.

2. Объединение выбранных фактором по выбранным признаком с выделение их числа.

3. Ранжирование (количественное) факторов по их влиянию.

4. Установление количественного соотношения между факторами.

5. Построение математической модели на основе эквивалентных схем, графов и т.д. формально представляющих объект проектирования.

6. Формирование математических описаний критериев эффективности.

3 этап – исследование разрешимости задачи

Выполняются следующие операции:

1. Выбор метода решения, в зависимости от типа модели и выбранной точности

2. Исследование технической осуществимости и целесообразности решения задачи выбранным методом с использованием имеющихся вычислительных ресурсов.

4 этап – разработка алгоритма и программы для ЭВМ.

5 этап – проведение контрольных расчетов для оценки точности и адекватности результатов моделирования (отладка, доработка программ).

Стадии формирования математической модели.

1. Описательная ММ – это модель содержащая множество возможных состояний исследуемой системы и законы перехода системы из одного состояния в другое.

2. Прогностическая модель – разрабатывается на основе описательной и дополнительно включает в себя аналитическое выражения критериев эффективности системы.

3. Оптимизационная модель – строится на основе прогностической и дополнительно предлагает выбор оптимального решения (например, система оптимальных параметров) из определенного квазиоптимального набора, заложенных в модель вариантов.

Математическое моделирование на микроуровне.

При моделировании на микроуровне решаются следующие задачи:

1. Задачи на упругое деформирование в сложном напряженном состоянии

2. Задачи гидро-газодинамики.

3. Прохождение волн через среды (волн всех типов)

Создаются на микроуровне и носят универсальный характер, что позволяет разработать универсальные методики моделирования принципиально различным процессов.

Закон сохранения: изменение в пространстве некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока/стока данной субстанции через поверхность данного элементарного объема. При наличии внутри источника генерации (уничтожения) субстанции, этот источник учитывается в уравнении путем введения дополнительного члена.

Так как моделями процессов и объектов микроуровня являются dU в частных производных, то для конкретного решения необходимо дополнить их краевыми условиями (начальными и граничными) .

Дифференциальные уравнения микроуровня м. разделить на 3 уровня:

1. Элептические уравнения. характерные задачи – задачи напряженно деформированного состояния, а так же задачи об установившееся процессах в гидродинамике, теплотехнике, электротехнике. (они же задачи квазидинамики). С данным уравнением используются: граничное условие Дирехле, Неймана или смешанные.

2. Параболическое уравнение – область применения – модели процессов диффузии и наведенных токов в токопроводящих телах. Используются те же граничные условия, совместно с начальными условиями на всей исследуемой области.

3. Гиперболическое уравнение – используется для проектирования любых моделей волновых процессов. С уравнением задаются условия Коши. Т.е. в начальный момент времени заданы условия по времени.

КОГДА ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ НЕТ используются приближения на основе сетчатых методов или методов интегральных граничных элементов. Основной целью применения этих методов является переход от неразрешимой диф. задачи к модели в виде системы эквивалентных линейных уравнений для которых существует простые решения – например сеточные методы.

Алгоритм включает: 1) построение сетки заданной области.

2)Получение диф. ур. записанных относительно угловых значений. (от каждой пары – 1) (алгебраизация задачи). 3) Решение полученных ур.

Методы: МКР(метод конечных разностей), МКЭ(элементов), МКО(объемов).

МКР (самый старый)

Решая систему относительно функции ЕH.

С уменьшением шага сетки точность повышается, но возрастает размерность системы и кроме того, начиная с определенного момента, увеличение м. приводить к обратному эффекту, т.е. к уменьшению точности, что связано с накопленной погрешностью вычислений.

Недостатком является огромное количество уравнений.

МКЭ (первая половина XX века).

В МКЭ исходная область определения функции разбивается на подобласти (конечные элементы). Под КЭ понимается некоторая область простой формы по сравнению с которой

В качестве КЭ для одномерных задач применяются прямолинейные или криволинейные отрезки.

Для двухмерных задач – треугольники или четырехугольники с криволинейными или прямолинейными границами. И для трехмерных КЭ являются параллелепипеды или тетраэдры.

Далее искомая непрерывная функция Э аппроксимируется кусочно-непрерывная функцией на множество бесконечных элементов. Аппроксимация каждого КЭ определяется полиномом до 6 степени. Этот полином называется функцией формы КЭ. В результате эквивалентная ММ представляет собой систему уравнений функций форм всех КЭ, на который был разбит объект записанных т.о. чтобы КЭ стыковались м. собой в узлах.

1) Метод ввода данных или предпроцессор – это импорт или создание геометрии объекта.

Генерация сетки конечных элементов в автоматическом, полуавт. режиме. Задание предграничных условий

2)Модуль вычислений

3) модуль вывода – визуализация данных.

Метод интегральных граничных эл. МГЭ.

(-) Метод не универсален. Он может применятся только для решения линейных или линейных относительно приращений

Сокращение размерности результирующей системы линейных уравнений в МГЭ достигается за счет промежуточного перехода от исходной системы д.у. к системе эквивалентных интегральных ур., которое далее заменяется системой линейных уравнений. Переход от д.у. к интегральным основан на методе суперпозиции (именно это и ограничивает универсальность метода)

Математическое моделирование на макроуровне

Методы макроуровня позволяют моделировать динамику сложных технических систем, состоящий из подсистем различной физической природы.

ММ на макроуровне является система обычных д.у. записанных относительно неизвестных параметра. Моделирование предполагает первоначальное разбиение структуры технической системы на однородные подсистемы в которых выделяются однородные элементы, характеристики которых заранее известны. Вне зависимости от природы любая подсистема состоит из элементов всего 3ех типов.

R – элемент диссипации энергии. С – элемент накопления потенциальной электрической энергии.

L – элемент накопление кинетической энергии.

Вне зависимости от природной системы форму ур., описывающий преобразование на отдельных элементах оказывается одинаковый. Если фазовые элементы по аналогии обозначит i и U, то эти уравнение будут иметь следующий вид.

Для объединения элементов в единую систему и описаний связей между ними, необходимо ввести еще 2 уравнения, которые называются топологическими. При моделировании используется ряд промежуточных графический представлений исходного объекта последовательные дынные формируют. Первоначально исходная система должна быть описана так называемой исходной схемой. Эквивалентные схемы имеют свои условные обозначения и правила построения (представлены в раздаточном материала позиция 1)

Ограничения при построении эквивалентных схем:

При составлении экв. схем необходимо избегать источника типа i и ветви типа L. В противном случае возникает неопределенность, приводящая к неразрешимости типа уравнений.

1)Для устранения неопределенности надо добавить в узел элементов i и U, элемент типа М.

2) Необходимо избегать параллельного подключения ветвей типа U .

Эквивалентные схемы строят сначала для каждой из подсистем отдельно. Следующим шагом необходимо объединить эквивалентные схемы подсистем в единую эквивалентную схему. Между эквивалентными схемами устанавливаются схемы одного из 3ех типов:

1. Трансформаторные (рис 3).

Такая связь характерна для соединения электрических подсистем с механической а так же для соединения принципиально однородных систем.

2) Гираторные

Предполагает наличие одноименных источников в сопрягаемых подсистем. Такой тип связи характерен для соединения механической системы с гидравлической или пневматической

2. связь по зависимым параметрам.

Характерно для взаимодействия всех подсистем с тепловой.

Пример. Моделирование простейшей системы (рис 4).

Определения теории графов:

1)Ориентированный граф это совокупность вершин (узлов) и связывающих их направленных ребер (ветвей).

2) связанный граф – это граф в котором можно указать маршрут связывающий все вершины

3) цепь – это последовательность смежных ребер, в которой все ребра различны.

4) цикл замкнутая цепь – древо графа - это связный подграф (часть графа образованная всеми вершинами и некоторой совокупностью ребер) не имеющий циклов.

5) Ветви графа – это ребра вошедшие в древо

6) Хорды графа – это ребра не вошедшие древа.

Для перехода от графа к системы ур. сувществует несколько методик (например через матрицу ). Рассмотрим переход через М-матрицу.

Для построения М-матрицы необходимо по ориентированной матрице построить граф и выделить в нем древо. ( так чтобы исключить цикл ) Выкинутые при переходе древа ребра становятся хордами и назначаются заголовками строк М-матрицы. Оставшиеся ребра назначаются ветвями древа и заносятся в заголовки столбцов таблицы. Для заполнения М-матрицы необходимо выполнить следующую процедуру: 1) Поочередное включение хорды в граф с созданием цикла. 2) Выполнение обхода возникнувшего замкнутого контура в направлении хорды. 3) В строке матрицы соответствующей данной хорды ставятся: +1 - если направление ветви совпадает с направлением хорды. -1 - если они противоположны. И 0 – если ветвь не входит в образованный хордой цикл.

Для построения системы уравнений используются выражения ( в Р.М. под таблицей – Ё)

Совокупность полученных т.о. топологических уравнений и изначально имеющихся компонентных уравнений, является математической моделью исследуемой системы. Это система д.у. поэтому осуществляется переход к системе линейных. Переход похож на метод конечных разностей.

(Сапр и граифика (журнал) . САПР.РУ.)

Ethernet — это самый распространенный на сегодняшний день стандарт локаль­ных сетей. Общее количество сетей, работающих по протоколу Ethernet в на­стоящее время, оценивается в несколько миллионов. Когда говорят Ethernet, то под этим обычно понимают любой из вариантов этой технологии. В более узком смысле Ethernet — это сетевой стандарт, основанный на экспериментальной сети Ethernet Network, которую фирма Xerox разработала и реализовала в 1975 году. Метод доступа был опробован еще раньше: во второй половине 60-х годов в радиосети Гавайского университета использовались раз­личные варианты случайного доступа к общей радиосреде, получившие общее название Aloha. В 1980 году фирмы DEC, Intel и Xerox совместно разработали и опубликовали стандарт Ethernet версии II для сети, построенной на основе коак­сиального кабеля. Эту последнюю версию фирменного стандарта Ethernet назы­вают стандартом Ethernet DIX, или Ethernet П. На основе стандарта Ethernet DIX был разработан стандарт IEEE 802.3, кото­рый во многом совпадает со своим предшественником, но некоторые разли­чия все же имеются. В то время как в стандарте IEEE 802.3 функции протоко­ла разделены на уровни MAC и LLC, в оригинальном стандарте Ethernet они объединены в единый канальный уровень. В Ethernet DIX определяется про­токол тестирования конфигурации (Ethernet Configuration Test Protocol), ко­торый отсутствует в IEEE 802.3. Несколько отличается и формат кадра, хотя минимальные и максимальные размеры кадров в этих стандартах совпадают. Часто для того, чтобы отличить стандарт Ethernet, определенный IEEE, и фир­менный стандарт Ethernet DIX, первый называют технологией 802.3, а за фирменным стандартом оставляют название Ethernet без дополнительных обозначений. В зависимости от типа физической среды стандарт IEEE 802.3 имеет различные модификации - 10Base-5, 10Base-2, 10Base-T, 10Base-FL, lOBase-FB. В 1995 году был принят стандарт Fast Ethernet, который во многом не является самостоятельным стандартом, о чем говорит и тот факт, что его описание просто является дополнительным разделом к основному стандарту 802.3 — разделом 802.3и. Аналогично, принятый в 1998 году стандарт Gigabit Ethernet описан в разделе 802.3z основного документа. Для передачи двоичной информации по кабелю для всех вариантов физического уровня технологии Ethernet, обеспечивающих пропускную способность 10 Мбит/с, используется манчестерский код. В более скоростных версиях Ethernet приме­няются более эффективные в отношении полосы пропускания избыточные логи­ческие коды. Все виды стандартов Ethernet (в том числе Fast Ethernet и Gigabit Ethernet) используют один и тот же метод разделения среды передачи данных — метод CSMA/CD. Рассмотрим, каким образом описанные выше общие подходы к решению наибо­лее важных проблем построения сетей воплощены в наиболее популярной сете­вой технологии — Ethernet. Сетевая технология — это согласованный набор стандартных протоколов и реа­лизующих их программно-аппаратных средств (например, сетевых адаптеров, драйверов, кабелей и разъемов), достаточный для построения вычислительной сети. Эпитет «достаточный» подчеркивает то обстоятельство, что этот набор представляет собой минимальный набор средств, с помощью которых можно по­строить работоспособную сеть. Возможно, эту сеть можно улучшить, например, за счет выделения в ней подсетей, что сразу потребует кроме протоколов стан­дарта Ethernet применения протокола IP, а также специальных коммуникацион­ных устройств — маршрутизаторов. Улучшенная сеть будет, скорее всего, более надежной и быстродействующей, но за счет надстроек над средствами техноло­гии Ethernet, которая составляет базис сети. Термин «сетевая технология» чаще всего используется в описанном выше узком смысле, но иногда применяется и его расширенное толкование как любого набо­ра средств и правил для построения сети, например «технология сквозной мар­шрутизации», «технология создания защищенного канала», «технология IP-сетей». Протоколы, на основе которых строится сеть определенной технологии (в узком смысле), специально разрабатывались для совместной работы, поэтому от разра­ботчика сети не требуется дополнительных усилий по организации их взаимо­действия. Иногда сетевые технологии называют базовыми технологиями, имея в виду то, что на их основе строится базис любой сети. Примерами базовых сете­вых технологий могут служить наряду с Ethernet такие известные технологии локальных сетей, как Token Ring и FDDI, или же технологии территориальных сетей Х.25 и frame relay. Для получения работоспособной сети в этом случае дос­таточно приобрести программные и аппаратные средства, относящиеся к одной базовой технологии — сетевые адаптеры с драйверами, концентраторы, коммута­торы, кабельную систему и т. п., — и соединить их в соответствии с требования­ми стандарта на данную технологию. Основной принцип, положенный в основу Ethernet, — случайный метод доступа к разделяемой среде передачи данных. В качестве такой среды может использо­ваться толстый или тонкий коаксиальный кабель, витая пара, оптоволокно или радиоволны (кстати, первой сетью, построенной на принципе случайного досту­па к разделяемой среде, была радиосеть Aloha Гавайского университета). В стандарте Ethernet строго зафиксирована топология электрических связей. Ком­пьютеры подключаются к разделяемой среде в соответствии с типовой структу­рой «общая шина». С помощью разделяемой во времени шины любые два компьютера могут обмениваться данными. Управление доступом к линии связи осуществляется специальными контроллерами -- сетевыми адаптерами Ethernet. Каждый компьютер, а более точно, каждый сетевой адаптер, имеет уни­кальный адрес. Передача данных происходит со скоростью 10 Мбит/с. Эта вели­чина является пропускной способностью сети Ethernet. Сеть Ethernet

Суть случайного метода доступа состоит в следующем. Компьютер в сети Ethernet может передавать данные по сети, только если сеть свободна, то есть если никакой другой компьютер в данный момент не занимается обменом. По­этому важной частью технологии Ethernet является процедура определения дос­тупности среды. После того как компьютер убеждается, что сеть свободна, он начинает передачу, при этом «захватывает» среду. Время монопольного использования разделяемой среды одним узлом ограничивается временем передачи одного кадра. Кадр — это единица данных, которыми обмениваются компьютеры в сети Ethernet. Кадр имеет фиксированный формат и наряду с полем данных содержит различную служебную информацию, например адрес получателя и адрес отправителя. Сеть Ethernet устроена так, что при попадании кадра в разделяемую среду пере­дачи данных все сетевые адаптеры одновременно начинают принимать этот кадр. Все они анализируют адрес назначения, располагающийся в одном из начальных полей кадра, и, если этот адрес совпадает с их собственным адресом, кадр поме­щается во внутренний буфер сетевого адаптера. Таким образом компьютер-адре­сат получает предназначенные ему данные. Иногда может возникать ситуация, когда одновременно два или более компью­тера решают, что сеть свободна, и начинают передавать информацию. Такая си­туация, называемая коллизией, препятствует правильной передаче данных по сети. В стандарте Ethernet предусмотрен алгоритм обнаружения и корректной обра­ботки коллизий. Вероятность возникновения коллизии зависит от интенсивно­сти сетевого трафика. После обнаружения коллизии сетевые адаптеры, которые пытались передать свои кадры, прекращают передачу и после паузы случайной длительности пытаются снова получить доступ к среде и передать тот кадр, который вызвал коллизию. Главным достоинством сетей Ethernet, благодаря которому они стали такими по­пулярными, является их экономичность. Для построения сети достаточно иметь по одному сетевому адаптеру для каждого компьютера плюс один физический сегмент коаксиального кабеля нужной длины. Другие базовые технологии, на­пример Token Ring, для создания даже небольшой сети требуют наличия допол­нительного устройства — концентратора. Кроме того, в сетях Ethernet реализованы достаточно простые алгоритмы досту­па к среде, адресации и передачи данных. Простая логика работы сети ведет к упрощению и, соответственно, удешевлению сетевых адаптеров и их драйверов. По той же причине адаптеры сети Ethernet обладают высокой надежностью. И, наконец, еще одним замечательным свойством сетей Ethernet является их хо­рошая расширяемость, то есть легкость подключения новых узлов. Другие базовые сетевые технологии - Token Ring, FDDI, — хотя и обладают многими индивидуальными чертами, в то же время имеют много общих свойств с Ethernet. В первую очередь — это применение регулярных фиксированных то­пологий (иерархическая звезда и кольцо), а также разделяемых сред передачи данных. Существенные отличия одной технологии от другой связаны с особен­ностями используемого метода доступа к разделяемой среде. Так, отличия тех­нологии Ethernet от технологии Token Ring во многом определяются специфи­кой заложенных в них методов разделения среды - случайного алгоритма доступа в Ethernet и метода доступа путем передачи маркера в Token Ring.