Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0-0 определяется вертикальной координатой z. Величину z называют геометрической высотой.

Второе слагаемое -  носит название пьезометрическая высота. Эта величина соответствует высоте, на которую поднимется жидкость в пьезометре, если его установить в рассматриваемом сечении, под действием давления р.

Сумма первых двух членов уравнения   называется гидростатический (пьезометрический) напор.

Третье слагаемое в уравнения Бернулли  называется скоростной высотой или скоростным напором. Данную величину можно представить как высоту, на которую поднимется жидкость, начавшая двигаться вертикально со скорость u при отсутствии сопротивления движению.

Сумму всех трёх членов (высот) называют гидродинамическим или полным напором и обозначают буквой Н_d.

Э нергетическая интерпретация уравнения Бернулли

Пусть частица массой m движется по оси элементарной струйки со скоростью u. Величина кинетической энергии этой частицы .

Если подсоединить пьезометр, то под действием давления р рассматриваемая частица жидкости поднимется на высоту . Относительно плоскости сравнения величина потенциальной энергии частицы .

Полная энергия частицы:

.

В гидравлике для характеристики удельной энергии пользуются понятием напора: энергия жидкости, отнесенная к единице веса. Тогда:

,

где z – удельная энергия положения, - удельная энергия давления, - удельная кинетическая энергия.

Физический смысл уравнения Бернулли для установившегося движения невязкой жидкости состоит в том, что это уравнение – закон сохранения механической энергии жидкости.

Геометрическое место точек, высоты которых равны , называется пьезометрической линией. Если к этим высотам добавить скоростные высоты, равные , то получится другая линия, которая называется гидродинамической или напорной линией. Из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости (и графика) следует, что гидродинамический напор по длине струйки невязкой жидкости постоянен.

Уравнение Бернулли для потока невязкой и реальной жидкости

Поток представляет собой совокупность элементарных струек, поэтому полная энергия потока невязкой жидкости может быть получена интегрированием полных энергий всех элементарных струек по всему живому сечению потока. Вес жидкости dm, протекающий в единицу времени через поперечное сечение элементарной трубки, равен:

.

Тогда полная энергия потока невязкой жидкости в любом живом сечении:

.

Рассматриваем далее плавно изменяющиеся движения, в которых имеет место гидростатический закон изменения давления по сечению, а значит пьезометрический напор постоянен по всему живому сечению. Тогда первое слагаемое (потенциальная энергия потока в его живом сечении) равно:

,

где Q – расход через живое сечение потока.

Учитывая, что , второе слагаемое запишем в виде:

,

где v, Q = vS – средняя скорость и расход в живом сечении.

Обозначим: .

Коэффициент , учитывающий неравномерность распределения скорости по живому сечению потока и представляющий собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости, называется коэффициентом кинетической энергии или коэффициентом Кориолиса. Коэффициент Кориолиса определяется экспериментально в различных точках исследуемого потока жидкости.

Тогда:

Вес жидкости, протекающий через живое сечение потока в единицу времени равен gQ. Тогда удельная энергия (гидродинамический напор) живого сечения равна:

.

В невязкой жидкости HHhhhhjhg H_d = const, т.к. гидродинамический напор элементарных струек постоянен.

В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно уменьшается. Т.е. напор потока в направлении движения потока становится меньше. Если рассмотреть два соседних сечения 1-1 и 2-2, то потери гидродинамического напора  h составят:

h_1-2 = Н_1-1 – Н_2-2,

где Н_1-1 - напор в первом сечении потока жидкости,

Н_2-2 - напор во втором сечении потока,

h_1-2 - потерянный напор - энергия, потерянная каждой единицей веса движущейся жидкости на преодоление сопротивлений на пути потока от сечения 1-1 до сечения 2-2.

С учётом потерь энергии уравнение Бернулли для потока реальной жидкости будет выглядеть:

.

Индексами 1 и 2 обозначены характеристики потока в сечениях 1-1 и 2-2. В других обозначениях:

H_d1 = H_d2 + h_1-2

или

H_p1 + H_v1 = H_p2 + H_v2 + h_1-2

Для потока реальной жидкости уравнение Бернулли представляет собой уравнение баланса энергии с учетом потерь.

Уменьшение полной удельной энергии жидкости вдоль потока, отнесенное к единице его длины, называется гидравлическим уклоном i:

,

где l – расстояние между сечениями 1-1 и 2-2.

Уменьшение удельной потенциальной энергии жидкости вдоль потока, отнесенное к единице его длины, называется пьезометрическим уклоном I_p:

.

Пьезометрический уклон может быть положительным и отрицательным, гидравлический уклон всегда положителен. В трубе постоянного диаметра с неизменным распределением скоростей пьезометрический и гидравлический уклоны одинаковы, а пьезометрическая и напорная линии – параллельны.

Сформулируем два условия применимости к потоку жидкости  уравнения Бернулли: 1) движение жидкости должно быть установившимся; 2) движение жидкости в сечениях 1—2 и 2—2, cоединяемых уравнением Бернулли, должно быть параллельно струйным или плавноизменяющимся, в промежутке же между сечениями 1—2 и 2—2 движение жидкости может быть и резко меняющимся.

Потери удельной энергии (гидравлические потери), зависят от формы и размеров русла, скорости течения и вязкости жидкости, шероховатости стенок трубопровода.

Различают два вида потерь:

1) потери напора по длине h_l – это потери энергии, которые возникают в прямых трубах постоянного сечения, зависят от длины трубопровода. обусловлены силами вязкости и влиянием стенок, ограничивающих поток;

2) местные потери напора h_м обусловлены местными гидравлическими сопротивлениями, которые возникают в результате деформации потока, вызванной фасонными частями арматуры трубопровода (задвижка, диафрагма, вентиль, поворот и др.). При протекании жидкости через местные сопротивления изменяется ее скорость и обычно возникают крупные вихри.