Уравнение неразрывности

Р ассмотрим установившееся течение. Выделим в потоке элементарную струйку и рассмотрим участок между сечениями 1-1 и 2-2. За время dt в выделенный участок войдет количество жидкости, равное объему цилиндра высотой u₁dt и площадью основания dS₁, т.е. dV₁=u₁dtdS₁. Аналогично, через сечение 2-2 вытекает объем жидкости dV₂=u₂dtdS₂. в силу несжимаемости и сплошности жидкости dV₁= dV₂, т.е.:

u₁dS₁ = u₂dS₂. (1)

Для других сечений струйки можно получить такие же соотношения:

u₁dS₁ = u₂dS₂ = u₃dS₃ = … = u_ndS_n = const = dQ.

Данное уравнение выражает условие неразрывности для элементарной струйки, из которого видно, что через все ее сечения в единицу времени протекает один и тот же объем жидкости. Имеет место:

.

Таким образом, скорости течения в двух сечениях элементарной струйки обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Проинтегрируем уравнение (1) по соответствующим сечениям:

.

По определению средней скорости: v₁S₁ = v₂S₂, а для любых сечений:

v₁S₁ = v₂S₂ = v₃S₃ = … = v_nS_n = const =Q. (2)

Это уравнение неразрывности потока, которое показывает, что объемный расход несжимаемой жидкости при установившемся движении сохраняется постоянным вдоль всего потока и равен произведению площади живого сечения потока на среднюю скорость. Из уравнения (2) следует:

,

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих сечений.

Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении, в которой выделим два сечения 1-1 и 2-2. Площади живых сечений потока обозначим dS₁ и dS₂. Давления и скорости жидкости в этих сечениях имеют значения p₁, p₂ и u₁, u₂ соответственно. За время dt объем жидкости 1122 переместится в положение 1122. Закон сохранения механической энергии: работа, совершаемая силами давления над выделенным объемом жидкости идет на приращение его механической энергии (кинетической и потенциальной):

А = П + К.

Обозначим объем 1122 – V, объем 1122 - V, объем 1111 - V₁, объем 2222 - V₂, объем 1122 – V₀.

Сила давления p₁dS₁ перемещает за время dt выделенный объем на расстояние u₁dt совершает положительную работу А₁ = p₁dS₁u₁dt (сила и перемещение сонаправлены). Сила давления p₂dS₂ перемещает за время dt выделенный объем на расстояние u₂dt совершает отрицательную работу А₂ = -p₂dS₂u₂dt (сила и перемещение противоположно направлены). Тогда работа сил давления составит:

А = p₁dS₁u₁dt - p₂dS₂u₂dt.

Вес объемов V и V одинаков, тогда:

G₁ + G₀= G₀ + G₂

G₁ = G₂ = dG

G₁ = dG = gV₁ = gu₁dt dS₁, G₂ = dG = gV₂ = gu₂dt dS₂.

Потенциальная энергия объема V: П = П₁ + П₀ = G₁z₁ + П₀ = gu₁dt dS₁z₁ + П₀.

Потенциальная энергия объема V: П = П₂ + П₀ = G₂z₂ + П₀ = gu₂dt dS₂z₂ + П₀ .

Здесь z₁ и z₂ – расстояния центров тяжести объемов V₁ и V₂ до произвольно выбранной линии сравнения 0-0. приращение потенциальной энергии равно:

П = П - П = G₂z₂ - G₁z₁ = (z₂ – z₁)dG = z₂dG - z₁dG.

Кинетическая энергия объема V: .

Кинетическая энергия объема V: .

Приращение кинетической энергии равно:

.

Закон сохранения энергии:

.

Разделим на dG = gu₁dt dS₁ = gu₂dt dS₂. Получим:

или

.

Так как сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, то для любого сечения элементарной струйки невязкой жидкости имеет место

.

Это соотношение называется уравнением Бернулли элементарной струйки невязкой жидкости. Н_d – гидродинамический напор.