- •3.2. Опорный конспект по дисциплине Введение
- •Глава 1. Статика
- •Раздел 1. Введение в механику
- •1.1. Некоторые основные понятия и определения
- •1.2. Основные законы механики
- •1.3. Свободные и несвободные тела. Связи и реакции связей
- •Раздел 2. Моменты силы. Пара сил
- •2.1. Предмет статики
- •2.2. Условия и уравнения равновесия материальной точки
- •2.3. Момент силы относительно точки
- •2.4. Момент силы относительно оси
- •2.5. Пара сил и ее свойства
- •Раздел 3. Произвольная система сил
- •3.1. Приведение силы к данному центру
- •3.2. Основная теорема статики
- •3.3. Уравнения равновесия произвольной системы сил.
- •Раздел 4. Плоская система сил
- •4.1. Уравнения равновесия плоской системы сил
- •4.2. Равновесие системы тел
Раздел 3. Произвольная система сил
3.1. Приведение силы к данному центру
Р ассмотрим свободное твердое тело, на которое воздействует сила , приложенная в точке (рис. 19). Выберем на линии действия силы точку и приложим к ней простейшую уравновешенную систему сил и ; при этом силы и по модулю равны силе и направлены по прямой . Кинематическое состояние тела при этом не изменится, поскольку в точке к телу приложена система сил, эквивалентная нулю.
Рассматривая теперь силы и , можно их считать уравновешенной системой сил, приложенных в точках и ; на тело же будет действовать одна сила , равная силе по модулю и направленная вдоль той же прямой и в ту же сторону, но приложенная уже в точке .
О тсюда следует, что силу, приложенную к твердому телу, можно рассматривать как скользящий вектор, определяемый модулем, направлением и линией действия. Точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия в пределах данного твердого тела.
Это положение неприменимо к деформируемому (например, упругому) телу.
Например, если к упругому телу приложить силы и (рис. 20а), то тело сжимается; если перенести эти силы по линии действия в точку тела, то оно не будет деформироваться (рис. 20б), а при расположении сил, указанном на рис. 20в, тело растягивается. Итак, перенос точек приложения сил в упругом (деформируемом) теле меняет характер напряжений и деформаций в теле.
Рассмотрим теперь приведение одной силы к данному центру, не лежащему на линии действия этой силы. Пусть к свободному твердому телу в точке приложена сила (рис. 21).
Возьмем произвольную точку (центр приведения) и проведем через нее и силу плоскость . Приложим в центре уравновешенную систему сил , ; равных по модулю и параллельных ей. Система сил эквивалентна силе . С другой стороны, ее можно рассматривать как состоящую из силы , геометрически равной силе , но приложенной в центре , и пары , называемой присоединенной. Легко видеть, что момент присоединенной пары геометрически равен моменту силы относительно центра : (смотри также рис. 17).
Итак, сила, приложенная в какой-либо точке тела эквивалентна равной ей силе, приложенной в произвольно выбранном центре, и паре, момент которой равен моменту данной силы относительно этого центра.
3.2. Основная теорема статики
Пусть на свободное твердое тело действует система сил , расположенных как угодно в пространстве и приложенных в точках (рис. 22). Выберем произвольно центр и приведем все данные силы к этому центру (центру приведения). В результате получим силы ,,равные данным силам и приложенные в центре и присоединенные пары . Моменты этих присоединенных пар равны моментам данных сил относительно центра приведения:
. (24)
Складывая силы , приложенные в центре по правилу многоугольника, получаем одну силу . Так как силы равны данным силам , то можно записать
. (25)
Вектор , равный геометрической сумме всех сил системы, называется главным вектором системы сил.
Складывая присоединенные пары , получим одну пару с моментом , равным геометрической сумме моментов присоединенных пар.
. (26).
Учитывая (24), находим:
, (27).
или , где
. (28).
Вектор , равный геометрической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения , называется главным моментом системы сил относительно этого центра.
Таким образом, доказана основная теорема статики: произвольную систему сил, приложенную к свободному твердому телу, можно привести к одной силе, равной главному вектору системы сил, и приложенной в центре приведения и к одной паре с моментом, равным главному моменту этой системы относительно центра приведения.
Не следует отождествлять главный вектор c равнодействующей, так как он заменяет систему сил в сочетании с главным моментом, в то время как равнодействующая , если она существует, одна заменяет систему сил.
При переносе центра приведения главный вектор не изменяется, а главный момент в общем случае изменяется.
Приведение произвольной системы сил к центру позволяет ответить на вопрос, являются ли две системы сил, приложенных к твердому телу, эквивалентными. Если при приведении этих двух систем к одному центру мы получим два равных главных вектора и главных момента, то можно утверждать, что такие две системы сил являются эквивалентными.
Случаи приведения произвольной системы сил к равнодействующей, к паре, к динаме изучаются студентами самостоятельно (см. [1],с. 94…97 или [2], с. 105…107).