Порядок виконання роботи

Користуючись програмою Spectr.exe :

1. Задати варіант завдання і натиснути кнопку "ОК"

2. Проаналізувати отриманий спектр сигналу

3. Дати характеристику вхідного сигналу, якому відповідає отриманий спектр

4. Визначити значення N

5. Визначити параметри A, C, E, F, AI, CI вхідного сигналу

y(n) = ACos(2Pi*C*n/(N - E) -2Pi/F) + Inf(AI, CI)

6. Скласти та захистити звіт з лабораторної роботи

Варіанти завдання:

N, N+30, N+60, де N – номер по списку

Зміст

Лабораторна робота № 6.

" Вейвлет перетворення та його використання в задачах ЦОС".

Мета роботи: засвоїти принципи ВП, його відмінності від перетворення Фур'є.

МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ

В кінці минулого століття виник і успішно розвивається новий і важливий напрям в теорії і техніці обробки сигналів, зображень і часових рядів, що отримав назву вейвлет-перетворення (ВП), яке добре пристосоване для вивчення структури неоднорідних процесів.

Термін вейвлет (wavelet) запровадив в своїй статті Гроссманн (Grossmann) і Морле (Morlet) в середині 80-х років XX століття у зв'язку з аналізом властивостей сейсмічних і акустичних сигналів. Їхня робота започаткувала інтенсивні дослідження вейвлетів такими вченими, як Добеши (Dobechies), Мейер (Meyer), Малл (Mallat), Фарж (Farge), Чуї (Chui) і ін.

Вейвлети представляють собою особливі функції у вигляді коротких хвиль (сплесків) з нульовим інтегральним значенням і з локалізацією по осі незалежної змінни (t або х), здібних до зсуву по цій осі і масштабуванню (розтягуванню/стисненню). Будь-який з найбільш часто використовуваних типів вейвлетів породжує повну ортогональну систему функцій. У разі вейвлет-аналізу (декомпозиції) процесу (сигналу) у зв'язку із зміною масштабу вейвлети здатні виявити відмінність в характеристиках процесу на різних шкалах, а за допомогою зсуву можна проаналізувати властивості процесу в різних точках на всьому досліджуваному інтервалі. Саме завдяки властивості повноти цієї системи, можна здійснити відновлення (реконструкцію або синтез) сигналу за допомогою зворотного ВП.

ВП широко застосовується для дослідження нестаціонарних сигналів, неоднорідних полів і зображень різної природи і часових рядів, для розпізнавання зображень і для вирішення багатьох задач в радіотехніці, зв'язку, електроніці, ядерній фізиці, сейсмоакустиці, метеорології, біології, економіці і інших областях науки і техніки.

Англійське слово wavelet (від французького «ondelette») дослівно перекладається як «коротка (маленька) хвиля».

Вейвлет-перетворення (ВП) одновимірного сигналу - це його представлення у вигляді узагальненого ряду або інтегралу Фурье за системою базисних функцій:

Ψab(t)= Ψ (1)

сконструйованих з материнського (початкового) вейвлета Ψ(t), що має певні властивості за рахунок операцій зсуву в часі (b) і зміни часового масштабу (а) (рис.1). Множник забезпечує незалежність норми цих функцій від масштабуючого числа а. Отже, для заданих значень параметрів а і b функція Ψab(t) і є вейвлет, породжуваний материнським вейвлетом

На рис. 1 наведено вейвлет «мексиканський капелюх» (а) і модуль його спектральної густини (б).

Рис.1

Малі значення а відповідають дрібному масштабу Ψab(t) або високим частотам (ω~1/а), великі параметри а -великому масштабу Ψab(t), тобто розтягуванню материнського вейвлета Ψ(t), і стисненню його спектру.

Таким чином, в частотній області спектри вейвлетов подібні до сплесків з піком на частоті ω0, і смугою Δω, тобто мають вид смугового фільтра; при цьому ω0 та Δω зменшуються із зростанням параметра а.

Отже, вейвлети локалізовані як в часовій, так і в частотній областях.

Рис.2

Відповідно до принципу невизначеності добуток ефективної тривалості (τе) і ефективної ширини спектру (Δωе) функції Ψab(t) (площа прямокутників на рис. 2) залишається незмінним. Крім того, через масштабування і часовий зсув (b/a=Δ=const) зберігається відносна «щільність» розташування базисних функцій по осі t.

Слід зазначити, що спектральне представлення (зображення) вейвлетів аналогічне завданню вікна у віконному перетворенні Фурье. Але відмінність полягає в тому, що властивості вікна (його ширина і переміщення по частоті) властиві самим вейвлетам. Це служить передумовою їх пристосовування до сигналів, що представляються сукупністю вейвлетів. Тому не важко зрозуміти, що за допомогою вейвлетов можна здійснити аналіз і синтез локальної особливості будь-якого сигналу S(t) (функції S(х)).

Порівняння з перетворенням Фурье

З практичної точки зору і з позицій точного представлення довільних сигналів ПФ має ряд обмежень і недоліків. Воно має хорошу локалізацію по частоті, але має поганий дозвіл за часом. ПФ навіть для однієї заданої частоти вимагає знання сигналу не тільки у минулому, але і в майбутньому, а це - теоретична абстракція. Обумовлено це тим, що базисною функцією при розкладанні в ряд Фурье є гармонійне коливання, яке математично визначене на часовому інтервалі від -∞ до +∞ . ПФ не враховує, що частота коливання може змінюватися в часі. Локальні особливості сигналу (розриви, сходинки, списи і т.п.) дають ледве помітні складові спектру, по яких знайти ці особливості, і тим більш їх місце і характер, практично неможливо. В цьому випадку неможливе і точне відновлення сигналу через появу ефекту Гиббса. Для отримання про сигнал високочастотної інформації з хорошою точністю слід витягувати її з відносно малих часових інтервалів, а не зі всього сигналу, а для низькочастотної спектральної інформації - навпаки. Крім того, на практиці не всі сигнали стаціонарні, а для нестаціонарних сигналів трудності ПФ зростають багато разів.

Частина вказаних труднощів долається при використовуванні віконного ПФ:

S(ω,b) = (2)

в якому застосовується попередня операція множення сигналу S(t) на «вікно» w(t-b); при цьому вікном є локальна в часі функція (наприклад, прямокутна, тобто w(t) = 1 при 0≤t≤ τ і w(t) = 0 при t<0, t> τ переміщувана вздовж осі часу t (рис. 1.17) для обчислення ПФ в різних позиціях b . В результаті виходить поточний спектр, тобто частотно-часовий опис сигналу

Рис.3

Якщо вікно, показане на рис.3, переміщати стрибеами (через τ ) уздовж всього часу існування сигналу S(t), то за деяке число таких переміщень можливе «проглядання» всього сигналу. Так що замість звичайної спектрограми вийде набір спектрограм, наведений у вигляді прямокутників на рис.4, а. Такий спектральний аналіз рівносильний аналізу за допомогою набору фільтрів з постійною шириною смуги пропускання, рівної Δω =2π/τ .

Рис.4

Очевидно, що, оскільки кожне вікно виділяє свою невелику ділянку в часі, точність представлення і роздільна здатність (за часом) можуть бути підвищені. Проте зважаючи на відомий принцип невизначеності (Δωτ =const) неможливо отримати одночасно високий дозвіл і по частоті, і за часом. Вікну з вузькою шириною (τ) в часі буде відповідати поганий дозвіл по частоті (велика величина Δω).

Недолік віконного ПФ полягає в тому, що використовується фіксоване вікно і, отже, фіксований дозвіл за часом і частоті для всіх точок площини перетворення (рис.4, а), яке не може бути пристосоване до локальних властивостей сигналу.

ВП має істотну перевагу перед ПФ перш за все за рахунок властивості локальності у вейвлетів. У вейвлет-перетворенні операція множення на вікно як би міститься в самій базисній функції, яка звужує і розширює вікно (рис.4, б): із зростанням параметра а збільшується дозвіл по частоті і зменшується дозвіл за часом, а із зменшенням цього параметра зменшується дозвіл по частоті і збільшується за часом. Звідси з'являється можливість адаптивного до сигналу вибору параметрів вікна. Пересувне частотно-часове вікно однаково добре виділяє і низькочастотні, і високочастотні характеристики сигналів. Це властивість ВП дає йому велику перевагу при аналізі локальних властивостей сигналів.

Можливо локально реконструювати сигнал: реконструювати тільки частину сигналу або виділити внесок певного масштабу. Якщо вейвлет-коефіцієнти схильні до випадкових помилок, вони будуть діяти на сигнал, що реконструюється, локально поблизу положення збурення, а ПФ поширює помилки по всьому відновлюваному сигналу.

Саме завдяки виявленню локальних особливостей сигналу, принципово відсутньому в ПФ, ВП знайшло широке застосування для аналізу тонкої структури сигналів і зображень, для їх стиснення і очищення від шуму, що важливо і корисно в радіотехніці, електроніці, гідроакустиці, геофізиці, медицині і інших областях науки і техніки. При цьому варто відзначити, що ВП у жодному випадку не є заміною традиційного перетворення Фурье і не поменшує його переваг і значущості при роботі із стаціонарними процесами і коли немає необхідності досліджувати локальну структуру сигналів. ВП просто інше і дозволяє подивитися на досліджуваний процес з іншої точки зору.

Діадне вейвлет-перетворення

При неперервній зміні параметрів а і b для розрахунку вейвлет-спектру необхідні великі обчислювальні витрати. Множина функцій Ψab(t) є надмірною. Необхідна дискретизація цих параметрів при збереженні можливості відновлення сигналу з його перетворення. Дискретизація, як правило, здійснюється через ступені двійки

а = 2^m, b = k2^m ,

Ψmk(t)= = (3)

де m і k- цілі числа. В цьому випадку площина а, b перетворюється на відповідну сітку m,k. Параметр m називається параметром масштабу.

Розглянута дискретизація найбільш поширена. Сітка дискретизації називається діадною і відповідне перетворення - діадним (dyadic) ВП.

На прикладі вейвлета Хаара Рис. 5 ілюструє дискретизацію а, b. При фіксованому параметрі m вейвлеты мають однакові масштаби і лише зміщуються в часі. При збільшенні параметра m на 1, масштаб збільшується удвічі і вейвлеты удвічі розтягуються. Для різних значень m ширина Ψmk(t) різна і вибір b = k2^m гарантує, що розтягнуті вейвлеты на рівні m «покривають» вісь часу так само, як це роблять початкові вейвлеты на рівні m= 0 .

Рис. 5

Пряме і зворотнє діадне ВП неперервних сигналів запишуться у вигляді:

cmk =(S(t)• ) = (4)

(5)

Проводячи аналогію з перетворенням Фурье, коефіцієнти розкладання можна визначити через неперервне ВП Ws(a,b)

=W( 2^m ,k٠2^m) (6)

Звертаючись до (4) і (6), бачимо, що вейвлет-спектр можна уявити як «ліс» з вертикальних відрізків, розміщених над m,k - площиною (сіткою); при цьому цілочисельні координати m,k указують відповідно на швидкість зміни сигналу і положення dздовж осі часу.

З (5) витікає, що сигнал S(t) може бути представлений сумою «вейвлетних хвиль» з коефіцієнтами . Формально узагальнений ряд Фурье (5) відрізняється від традиційного тим, що підсумовування проводиться не поодинці, а по двох індексах. Діадне ВП представляє особливий різновид безперервного ВП, що дозволяє усунути надмірність останнього.

Дискретне перетворення

На підставі теореми Котельникова (теореми відліків) неперервний сигнал S(t), спектр якого не містить частот

вище fm, повністю визначається дискретною послідовністю своїх миттєвих значень

{ Si }, і = 0,1...,N-1, відлічуваних через інтервали часу Δt:

Δt = l/2fm fд =l/ Δt t = 2 fm (7)

де Δt і fд - інтервал (крок) і частота дискретизації.

Таким чином, дискретизированный з кроком Δt сигнал можна визначити виразом:

Si(t)= { Si } = Δt)δ(t – iΔt), (8)

де δ(t) - дельта-функція.

Якщо число відліків складає N = 2"°, то максимальне значення m у формулах (3) буде рівне п0-1. Найбільше значення k для поточного m визначається: k= -1. Зокрема, для m = 0 (тобто а = 1 ) число зсувів k базисного вейвліта складе 2"° -1 = N -1; з кожним подальшим значенням m(1,2...) вейвлет розширюється в двічі, а число зсувів k зменшується в двічі. Для максимального значення m = mmax, рівного п0-1, k=0, тобто один вейвлет «накриває» весь інтервал сигналу (рис.5;N=8).

Вейвлет-коефіцієнти (або ) можна обчислити з допомогою ітераційної процедури, відомої під назвою швидкого вейвлет-перетворення ШВП. При цьому, якщо необхідно, можна стиснути отримані дані, відкинувши деяку неістотну частину закодованої таким чином інформації. Здійснюється це квантуванням, в процесі якого приписуються різні вагові множники різним вейвлет-коефіцієнтам. Ретельно проведена процедура дозволяє не тільки видалити деякі статистичні флюктуации і підвищити роль динамічних характеристик сигналу, але і істотно скоротити комп'ютерну пам'ять і вимоги до передачі інформації і, отже, понизити витрати.

Приклад:прямокутний імпульс з шумом

Рис. 6

Рис. 7

На рис.7 наведено результати синтезу сигналу з придушенням коефіцієнтів при високочастотних доданках.

Очевидно, що при m = 0 синтез відбувається без придушення складових і досліджуваний сигнал і синтезований повністю співпадають.

Із збільшенням параметра m розширяється смуга придушення складових у вейвлет-спектрі, що еквівалентно пропусканню сигналу через фільтр низьких частот із смугою пропускання фільтра, що зменшується і, отже, зростанню придушення шуму і щодо високочастотних компонентів сигналу; останнє приводить до спотворення (затягуванню) фронтів імпульсу.

Швидке вейвлет-перетворення

При дослідженні сигналів корисно їх представити у вигляді сукупності послідовних наближень грубої (апроксимуючої) Am(t) і уточнюючої (деталізуючої) Dm(t) складових

S(t) = Am(t) + t), (9)

з подальшим їх уточненням ітераційним методом. Кожний крок уточнення відповідає певному масштабу a^m (тобто рівню m) аналізу (декомпозиції) і синтезу (реконструкції) сигналу. Таке представлення кожної складової сигналу вейвлетами можна розглядати як в часовий, так і в частотній областях. В цьому суть кратномасштабного аналізу (КМА).

В практиці ВП в більшості випадків ми маємо справу з дискретними сигналами. Проте формули для ВП дискретних сигналів не можуть бути отримані простою дискретизацією формул діадного ВП для безперервного сигналу. Знайдемо їх з передумов КМА.

Хай є неперервний сигнал S(t) Є V0. Дискретний сигнал Sд інтерпретуємо як послідовність коефіцієнтів ак, отриману в ході КМА сигналу S(t) при масштабуючих функціях φ0k(t):

S(t) = A0(t) + (10)

де а0к = ак =(S(t), φ0k(t)) - коефіцієнти апроксимації на рівні m = 0.

По концепції КМА сигнал S(t) декомпозируется на дві складові (що належать підпросторам V1 і W1):

S(t) = A1(t)+ D1(t) = + (11)

Отже, отримано дві нові послідовності і . Відзначимо, що послідовності і мають половинну довжину в порівнянні з . Далі процес декомпозиції може бути продовжений по A1(t) (підпростори V2 і W2). Сигнал S(t)) на рівні декомпозиції m буде представлений сукупністю коефіцієнтів аmk і dmk .

Проте обчислення аmk і dmk як і раніше залежать від безперервних базисних функцій та . Ці функції однозначно визначаються коефіцієнтами hl:

=2 (12)

=2 =2 (13)

= (14)

= h2n-1-l (15)

де l = 0,1...,l0 =2п-1, п- порядок вейвлета. Вейвлети «n-го порядку існують тільки на інтервалі завдовжки 2n-1 і мають 2n відмінних від нуля коефіцієнтів hl.

З (12) і (13) можна отримати наступні співвідношення:

amk =(S(t), φmk(t)) = = (16)

dmk =(S(t), ψmk(t)) = = (17)

Ітераційна процедура швидкого вейвлет-аналізу отримала назву аналізу від «тонкого» до «грубого» масштабу.

На практиці найменший можливий масштаб (найбільший рівень дозволу п0) визначається числом N дискретних значень сигналу (N = 2ⁿ⁰ ). На «найтоншому» значенні масштабу (m = 0, а = 2^m = 1) в якості апроксимуючих коефіцієнтів а_0к приймаються самі відліки S_j сигналу S(t), тобто а_0к =S_j

k = і, і = О,1..., N -1. При переході від поточного масштабу m, до наступного m + 1 число вейвлет-коефіцієнтів зменшується в двічі і вони визначаються по рекуррентным співвідношеннях:

am+1,k = , dm+1,k = (18)

Процес зупиняється після кінцевого числа рівнів m = Мmax, яке залежить від довжини сигналу (N) і порядку (l) фільтра h_l.

При відновленні (реконструкції) сигналу по його вейвлет-коэффициентам процес йде від крупних масштабів до дрібних і на кожному кроці описується виразом

am-1,k = ) (19)

яке виходить із співвідношень (12) і (13).

Число операцій множення при прямому швидкому ВП (ШВП) буде 2LN, де L = 2n. Стільки ж операцій необхідно і для реконструкції сигналу. Таким чином, для аналізу-синтезу сигналу в базисі вейвлетов необхідно виконати 4LN операцій, що не перевищує ( і навіть менше) числа операцій для швидкого перетворення Фурье (Nlog₂ N).

Таким чином, в практичних додатках ШВП використовуються тільки коефіцієнти h_l, самі ж вейвлеты не обчислюються і в розрахунках не використовуються.

Порядок проходження коефіцієнтів - «дерево» коефіцієнтів приведено на рис.8: декомпозиція сигналу - зверху-вниз і реконструкція – в зворотньому напрямку.

Рис. 8