- •Поле комплексных чисел
- •Сопряжение комплексных чисел
- •Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •Комплексная экспонента
- •Извлечение корней из комплексных чисел.
- •Последовательности и ряды комплексных чисел
- •Расширенная комплексная плоскость
- •Дробно-линейная функция
- •Группа дробно-линейных преобразований сферы Римана
- •Инверсия.
- •Аналитичность
- •Гармонические функции
- •Степенные ряды
- •Основные функции комплексной переменной
- •Экспонента
- •Тригонометрические и гиперболические функции
- •Аргумент комплексного числа
- •Многозначные функции
- •Интегрирование функции комплексного переменного
- •Кривые на комплексной плоскости
- •Определение и свойства интеграла
- •Длина кривой
- •Теорема Коши
- •Теорема Коши для односвязной области
- •Распространение на многосвязные области
- •Интегральная формула Коши
- •Ряд Тейлора
- •Теорема единственности и аналитическое продолжение
- •Ряд Лорана
- •Изолированные особые точки
- •1. Особые точки
- •2. Разложение в окрестности особой точки
- •Основная теорема о вычетах
- •Вычисление интегралов с помощью вычетов
- •Литература
Аргумент комплексного числа
Главным значением аргумента ненулевого комплексного числа z назовем то единственное действительное число 𝜑 ∈ [0,2π ), для которого z /| z| =exp(i𝜑 ). Обозначаем главное значение аргумента как arg z.
Всевозможные решения уравнения относительно переменной 𝜑, т.е. множество {arg z+2π k ∣ k∈ ℤ } назовем аргументом комплексного числа z и обозначим Arg z. Таким образом Arg z -- многозначная функция.
Многозначные функции
Примерами многозначных функций являются аргумент Arg z и . Ветвью многозначной функции в области D назовем такую непрерывную однозначную функцию , что для любого . Для некоторых областей D⊆ ℂ можно выделить ветвь многозначной функции с соблюдением непрерывности или аналитичности, а для других нет. Так например, для области и функции нельзя выделить ветвь, а для области
0 1
-1
Рис. Выделение ветви функции Arg z
можно: пусть ψ (z)=arg z+2πkz, где kz -- целое число, которое указано на рисунке в той части области D, в которой лежит комплексное число z. Если z лежит на границе, то берется любое из двух возможных целых чисел. Построенная таким образом ветвь будет непрерывной функцией. Теперь можно построить и аналитическую ветвь многозначной функции и в той же области D -- . Заметим, что для кольца 0<|z| <R такое построение, с соблюдением аналитичности, невозможно.
Определим
Если z=x -- положительное действительное число, то в силу монотонности действительной функции ey, существует только одно действительное число в множестве Ln x. Оно есть не что иное как натуральный логарифм числа x (обозначается ln x).
Предложение. Пусть -- показательная форма записи. Тогда
Пример. Вычислим:
Свойства комплексного логарифма таковы.
Л1. Область допустимых значений логарифма -- все ненулевые комплексные числа. Если z=rei𝜑 , где r=|z| и 𝜑 ∈ Arg z, то Ln z={ln r+i(𝜑 +2π k) | k∈ ℤ } .
Л2 [производная логарифма] (Ln z)'= 1 / z . (Имеется в виду производная от любой ветви логарифма)
Доказательство. Дифференцируем левую и правую часть соотношения ew=z, считая w функцией от z. Получаем: ew⋅ w'z=1, откуда w'z= 1/ew =1/z .
Следующее свойство вытекает из основного функционального соотношения для экспоненты.
Л3. Для любых ненулевых комплексных чисел z1, z2 и z выполняются равенства:
Ln(z1⋅ z2)=Ln z1+Ln z2; Ln zk=k Ln z (k∈ ℤ ).
С помощью комплексного логарифма можно определить степень любого ненулевого комплексного числа с любым комплексным показателем:
Пример ii={e-π /2-2πk | k∈ ℤ } .
Л4. Для всех ненулевых комплексных чисел имеет место равенство:
Определим теперь обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции:
Arcsin z={ w∈ ℂ | sin w=z} ; Arccos z={ w∈ ℂ | cos w=z} ;
Arcsh z={ w∈ ℂ | sh w=z} ; Arcch z={ w∈ ℂ | ch w=z };
Arctg z={ w∈ ℂ | tg w=z} ; Arcth z={ w∈ ℂ | th w=z} .
Используя комплексный логарифм, установим формулы для вычислений этих многозначных функций. Начнем с решения уравнения ch w=z относительно w. Заменяя ζ =ew, сводим это уравнение к квадратному ζ2-2zζ +1=0, решения которого суть: . Получаем окончательно:
.
Аналогично:
Arccos z=-i Ln(z+√(z2-1)); Arcsh z=Ln(z+√(z2+1) ); Arcsin z=- i Ln(iz+√(1-z2));
Пример Вычислим: ; .