1. Извлечение корней из комплексных чисел.

C помощью комплексной экспоненты легко извлекаются корни из комплексных чисел. Решим уравнение . Если w=0, то имеется только один нулевой корень кратности n. Пусть . Запишем в показательном виде , где . Найдем арифметический корень n-ой степени из r и обозначим его . Тогда уравнение имеет n корней, расположенных на окружности радиуса в вершинах правильного n-угольника

/*/ Действительно, применяя формулу Муавра, легко проверить, что все -- корни уравнения Пусть – какой-либо корень уравнения . Тогда . Приравнивая модули, получаем равенство . Сокращая на и деля на , получим откуда и . Это значит, что для некоторго целого . Поделим на с остатком: , где . Тогда

и . Следовательно, .

Корни (3) расположены в вершинах правильного - угольника, вписанного в окружность радиуса , имеющей центр в нулевой точке.

Н апример, найдем корни уравнения . Здесь арифметический корень шестой степени из 64 равен 2, а агрумент равен нулю. Следовательно, корни имеют вид

5. Последовательности и ряды комплексных чисел

Предложение 1. Пусть – последовательность комплексных чисел, . Тогда

Доказательство вытекает из непрывности отображений и А именно, если мало, то и малы, а также если малы, то мал (модуль мал). □

Предложение 2. Из абсолютной сходимости следует сходимость ряда.

Докажем этот факт. Обозначим . Тогда для любого 𝜺 >0 найдется, благодаря критерию Коши, натуральное N такое, что для любых имеет место неравенство Без ограничения общности можно считать, что . Тогда

Применяя снова критерий Коши к ряду , получаем его сходимость. □

6. Расширенная комплексная плоскость

Открытую область |z|>R считаем R-окрестностью бесконечно удаленной точки ∞ . Считаем:

z/∞ = 0, ∞ +z=z+∞ =∞ (z∈ ℂ ), c/0 =∞ , ∞ ⋅ c=c⋅ ∞ =∞ (c∈ ℂ *).

Поле комплексных чисел, пополненное элементом ∞, с определенными для него выше правилами, назовем расширенной комплексной плоскостью.

Поместим комплексную плоскость ℂ в трехмерное пространство и рассмотрим в этом пространстве сферу Римана . Точку N(0,0,1) назовем северным полюсом, а точку S(0,0,-1) назовем южным полюсом. Построим стереографическую проекцию сферы Римана на комплексную плоскость, т. е. отображение ℂ такое, что для любой точки P∈ ℜ , не совпадающей с северным полюсом, точки N, P и (P)∈ ℂ лежат на одной прямой. Получаем биективное соответствие между точками сферы Римана с выброшенным северным полюсом и точками комплексной плоскости.

Предложение. Стереографическая проекция задается формулами:

Если последовательность точек P_n на сфере Римана стремится к N, то и наоборот, если последовательность комплексных чисел стремится к ∞ , то приближается к северному полюсу по сфере Римана.

7. Дробно-линейная функция

1. Группа дробно-линейных преобразований сферы Римана

Функция вида , где a,b,c,d∈ ℂ и ad-bc≠ 0, называется дробно-линейной . В частности, дробно-линейной функцией будет всякая линейная функция w=az+b с a≠ 0. Дробно-линейная функция неопределена в точке -d/c, но нетрудно вычислить, что предел функции при равен ∞. Полагаем по определению w(-d/c)=∞ и, кроме того, ясно, что w(∞ )=a/c. Тогда дробно-линейная функция задает биективное преобразование расширенной комплексной плоскости.

Предложение. Обратная к дробно-линейной функции также будет дробно-линейной функцией . Композиция дробно-линейных функций снова будет дробно линейной функцией.