- •Поле комплексных чисел
- •Сопряжение комплексных чисел
- •Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •Комплексная экспонента
- •Извлечение корней из комплексных чисел.
- •Последовательности и ряды комплексных чисел
- •Расширенная комплексная плоскость
- •Дробно-линейная функция
- •Группа дробно-линейных преобразований сферы Римана
- •Инверсия.
- •Аналитичность
- •Гармонические функции
- •Степенные ряды
- •Основные функции комплексной переменной
- •Экспонента
- •Тригонометрические и гиперболические функции
- •Аргумент комплексного числа
- •Многозначные функции
- •Интегрирование функции комплексного переменного
- •Кривые на комплексной плоскости
- •Определение и свойства интеграла
- •Длина кривой
- •Теорема Коши
- •Теорема Коши для односвязной области
- •Распространение на многосвязные области
- •Интегральная формула Коши
- •Ряд Тейлора
- •Теорема единственности и аналитическое продолжение
- •Ряд Лорана
- •Изолированные особые точки
- •1. Особые точки
- •2. Разложение в окрестности особой точки
- •Основная теорема о вычетах
- •Вычисление интегралов с помощью вычетов
- •Литература
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Изобразим комплексное число вектором. Длина этого вектора, т.е. величина называется модулем комплексного числа и обозначается . Если -- действительное число, то приходим к «школьному» модулю, ибо . Если , то угол, который образует вектор с действительной осью называется аргументом комплексного числа и обозначается Пусть – модуль и аргумент ненулевого комплексного числа. Тогда
(1)
Выражение называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Свойства модуля. Для любых комплексных чисел имеют место соотношения:
а) ,
б) (неравенство треугольника);
Докажем первое равенство:
Извлекая квадратный корень, получим равенство . Второе равенство следует из первого, ибо оно эквивалентно следующему соотношению: .
Докажем неравенство треугольника. Обозначая и возводя в квадрат, заменяем это неравенство на равносильное:
Возводя в квадрат в левой части и сокращая, получаем эквивалентное неравенство
Это неравенство будет следовать из неравенства
которое, после возведения в квадрат и сокращения, превращается в неравенство
Последнее неравенство несомненно верно. □
Следствие. Множество комплексных чисел с единичным модулем (обозначим: – комплексная единичная окружность) замкнуто относительно умножения и обращения.
Перемножим два комплексных числа в тригонометрической форме записи:
Применяя тригонометрические формулы «косинус суммы» и «синус суммы», приходим к следующему правилу: при перемножении комплексных чисел модули умножаются, а аргументы складываются
(2)
В частности, перемножая число на себя n раз, получаем формулу Муавра:
Умножая произвольное комплексное число-вектор на комплексное число вида , увеличиваем аргумент у комплексного числа на величину , не меняя модуля. Это преобразование соответствует повороту комплексной плоскости на угол Умножение на положительное действительное число есть гомотетия комплексной плоскости (растяжение в раз, если и сжатие в раз, если ). Итак, преобразование
представляет из себя последовательное выполнение двух геометрических преобразований над вектором -- поворота и гомотетии. В этом и заключается геометрический смысл умножения комплексных чисел.
Пример. Вычислим . Для этого сначала найдем модуль и аргумент числа :
Для того чтобы найти аргумент изобразим комплексное число вектором, очевидно лежащем на биссектрисе первого квадранта, и ответ или, по другому, станет понятен. Далее
Комплексная экспонента
Правило (2) предыдущего параграфа дает нам право определить экспоненту чисто мнимого числа:
Действительно, таким образом определенная функция обладает следующими свойствами:
Здесь первое равенство есть частный случай (2) предыдущего параграфа, когда , второе равенство есть не что иное как формула Муавра, а третье равенство вытекает из периодичности гармоник. Заметим, что никакой коллизии в обозначения в связи с известной экспонентой действительной переменной не возникает; равенство аргументов возможно лишь если . Но тогда определение (1) комплексной экспоненты дает нам значение , что совпадает с известным равенством .
Определение (1) позволяет записать ненулевое комплексное число в показательной форме
В таком виде легче оперировать с комплексными числами, когда речь идет об умножении, делении и возведении в степень. Например,
Определим теперь комплексную экспоненту для любого комплексного числа
Функция будет уже функцией комплексного переменного. Для нее справедливы свойства
Е1. Область определения – все комплексные числа.
Е2. ;
Е3. —«школьная экспонента»
Е4. Комплексная экспонента периодична с периодом
Е5. Область значений – все комплексные числа, кроме нуля