32. Постановка задачи коммивояжера на языке теории графов.

Задача коммив-ра может быть сформ-на как зад. на графе в след. постановке: построить граф G(X, A), вершины кот. соотв-ют городам в зоне коммив-ра, а дуги отображают коммуникации, соединяющие пары городов. Пусть длина a(х, у) > 0 каждой дуги (х, у) є А равна расстоя­нию, стоимости или времени. Контур, включающий каждую вершину графа G хотя бы один раз, называется маршрутом коммивояжера. Контур, вкл. кажд. вершину графа G ровно 1 раз, наз-ся гамильтоновым контуром (по имени ирландского математика Вильяма Роуана Гамильтона, ко­т. в 1859 г. 1ым начал изучение этих задач).

Города — это вершины графа. Дороги между городами — это ориентированные ребра графа. Длина соотв-щей дороги — это вес ребра. Граф должен быть полным, т.е. в нем имеются все возможные ребра. Если граф не явл. полным, то его можно дополнить недостающими ребрами с весом. Путь, кот. требуется найти, - это ориентированный оставный, простой цикл, минимального веса в графе. Такие циклы называются гамильтоновыми.

Оставным циклом называется такой цикл, который проходит через все вершины. Вес цикла — это сумма веса всех ребер.

33. Теорема о приведения матрицы расстояний в зк. Оценка маршрута снизу (нижняя граница).

Если из всех элементов каждой строки матрицы, а затем из всех элементов каждого столбца вычесть минимальные элементы каждой строки (каждого столбца), то получим новую матрицу, в каждой строке и каждом столбце которой будет хотя бы по одному нулю. Полученная таким образом матрица называется приведенной, а процесс ее получения - приведением.

Сумма всех вычитаемых в процессе приведения элементов называется

приводящей константой. Обозначим эту константу ω .

Процесс приведения можно записать следующим образом.

Пусть Cij=minCi,j= ∀i=1,n, тогда Cij= Cij-Ci,j(i)

Пусть C¹i(j)minC¹ij, ∀j =1,n тогда C²ij=C¹ij-Ci(j)j,

где C²ij -элемент приведенной матрицы.

Приводящая константа

Оптимальные маршруты в задаче с приведенной матрицей (C² ij) совпадут с оптимальными маршрутами исходной задачи. Приводящая константа исходной матрицы и явится нижней границей всего множества возможных маршрутов

34. Ветвление, оценки нулевых переходов, уточнение нижней границы маршрута.

Метод ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере – один из наиболее эффективных и быстрых методов решения задачи о коммивояжере, был разработан Литтлом, Мерти, Суини, Кэрелом в 1963 г. Представляет собой итеративную схему неявного (улучшенного) перебора, который состоит в отбрасывании заведомо неоптимальных решений и является одной из самых эффективных процедур в группе методов ветвей и границ.

Алгоритм метода.

Метод состоит из предварительного этапа и общего, который повторяется необходимое число раз.

Предварительный этап. Приведение матрицы затрат, вычисление нижней оценки стоимости маршрута r.

Вычисление наименьшего элемента по каждой строке (константы приведения):

, .                        (3.15)

 Переход к новой матрице с элементами:

.                               (3.16)

 Вычисление наименьшего элемента по каждому столбцу (константы приведения):

, .                     (3.17)

 Переход к новой матрице с элементами:

.                                (3.18)

 Вычисление нижней оценки стоимости маршрута (сумма констант приведения):

.                           (3.19)

В результате выполнения предварительного этапа получаем матрицу  в каждой строке и в каждом столбце которой есть хотя бы один нулевой элемент.

Общий этап.

1. Вычисление штрафа “за неиспользование”  для каждого нулевого элемента приведенной матрицы .

Если ребро (h,k) не включается в маршрут, то в него входит некоторый элемент строки h и столбца k. Следовательно, стоимость «неиспользования» (h,k) во всяком случае, не меньше суммы минимальных элементов строки h и столбца k, исключая сам элемент . Отсюда

.                           (3.20)

2. Выбор нулевого элемента, которому соответствует максимальный штраф. Если таких элементов несколько, то выбирается любой из них. Разбиение множества всех допустимых маршрутов  на два подмножества: подмножество содержащее ребро (h,k) – ; подмножество, не содержащее ребро (h,k) – .

Примечание: максимальный штраф означает, что исключение из решения переезда, соответствующего нулевому элементу, приведет к максимальному увеличению стоимости оптимального маршрута.  

3. Вычисление оценок затрат по всем маршрутам, входящим в каждое подмножество.

3.1. Обозначим за  минимальную оценку стоимости маршрутов, вошедших в множество , т.е. не содержащих ребро (h,k). Для  оценка затрат:

.                                 (3.21)

3.2. При вычислении оценки затрат для  учитывают, что, если ребро (h,k) входит в маршрут, то ребро (k,h) не может входить в маршрут, поэтому принимаем: ; если в маршрут включено ребро (h,k), то ни одно другое ребро, начинающееся в пункте h или заканчивающееся в пункте k не может входить в маршрут, поэтому строка h и столбец k вычеркиваются. Полученная матрица приводится, т.е. выполняется предварительный этап алгоритма. Пусть сумма приводящих констант матрицы: . Тогда оценка затрат:

.                              (3.22)

4. Из множеств  и  для дальнейшего ветвления выбирается множество, имеющее меньшую оценку. При выборе  нужно вернуться к шагу 1, используя на этом шаге приведенную матрицу, полученную на шаге 3.2. При выборе  нужно вернуться к матрице , принять  и привести полученную в результате матрицу, после чего перейти к шагу 2, используя на нем эту приведенную матрицу. Если несколько множеств имеют равную минимальную оценку, то дальнейшее ветвление производится для всех множеств с минимальной оценкой. Таким образом метод ветвей и границ позволяет находить все оптимальные решения.

Алгоритм продолжается до тех пор, пока в подмножестве маршрутов с наименьшей оценкой не останется всего один маршрут. В расчетах это соответствует ситуации, когда исследуемая матрица имеет размерность 1*1.