25. Понятие маршрута, цепи, простой цепи, цикла для графа. Связные, несвязные графы. Дерево, лес.

Маршрутом в графе  называется конечная   последовательность   ребер, в котором 2 последующих ребра смежны или одинаковы. (ab),(bb),(bc),(cd).

Длиной маршрута называется количества ребер в нем

Маршрут, в котором все вершины различны, называется простой цепью. Замкнутая простая цепь называется простым циклом.

Замкнутая цепь называется циклом.

Расстоянием между вершинами u и v  называется длина кратчайшей цепи d(u,v)

Граф называется связанным, если любые его две вершины можно соединить цепью. Граф сильно связан, если для его двух любых вершин х_i ≠х_j существует путь, идущий изх_i и х_j.

Граф, который не является связанным, может быть разбит на конечное число связных графов, называемых компонентами, или частями.

Дерево это конечный, связный, не ориентированный граф, не имеющий циклов. Характеристическое свойство деревьев состоит в том, что любые две вершины дерева соединены единственной цепью.

Совокупность деревьев называется лесом.

2 6. Планарные и плоские графы. Изоморфные графы. Полные графы.

Плоский граф – граф который можно изобразить не плоскости так, что никакие ребра не пересекаются между собой.

Планарный граф – граф изоморфный плоскому пространству.

Г раф называется полным, если любая пара вершин соединена одним ребром. Изоморфизм. Два графа называются изоморфными, если существует перестановка вершин, при которой они совпадают. Иначе говоря, два графа называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное соответствие между их вершинами и рёбрами, которое сохраняет смежность и инцидентность (графы отличаются только названиями своих вершин).

27. Эйлеровы графы. Крит. Сущ-я эйлерова цикла в графе. Полуэйлеров граф. Задача о Кенигсбергских мостах.

Эйлеров путь (эйлерова цепь) в графе — это путь, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу.

Эйлеров цикл — это эйлеров путь, являющийся циклом.

Эйлеров граф — граф, содержащий эйлеров цикл.

Эйлеров цикл/путь существуют только в связных графах или в графах, которые после удаления всех одиночных вершин превратятся в связные.

В неориентированном графе. Кроме того, согласно теореме, эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда граф связный и в нём отсутствуют вершины нечётной степени.

Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и содержит не более чем две вершины нечётной степени. Ввиду леммы о рукопожатиях, число вершин с нечётной степенью должно быть четным. А значит Эйлеров путь существует только тогда, когда это число равно нулю или двум. Причём когда оно равно нулю, эйлеров путь вырождается в эйлеров цикл.

В ориентированном графе.Ориентированный граф содержит эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он сильно-связан и для каждой вершины графа её полустепень захода равна её полустепени исхода, то есть в вершину входит столько же ребер, сколько из неё и выходит.

Полуэйлеров граф — граф, содержащий эйлеров путь (цепь).

Задача о Кенигсбергских мостах. Однажды математику Леонарду Эйлеру был задан вопрос: можно ли обойти все семь мостов, стоявших тогда в городе Кёнигсберге (современный Калининград, Россия), побывав на каждом по одному разу? Рассмотрев эту задачу, в 1736 году Эйлер доказал, что это невозможно, причем он рассмотрел более общую задачу: какие местности, разделенные рукавами рек и соединенные мостами, возможно обойти, побывав на каждом мосту ровно один раз, а какие невозможно.